中学 数学

多項式の計算(カレンダーの文章題)

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例題

以下の[表1]は2015年1月のカレンダーを表したものです。これについて,(1),(2)に答えなさい。

(1)緑色で表した4つの数字について,14×20-13×21の結果を求めなさい。
(2)[表2]のように,カレンダーにある4つの数字について,左上の数字をa,右上の数字をb,左下の数字をc,右下の数字とするとき,bc-adは(1)で求めた数と同じ,一定の数になる。このことを証明しなさい。

[表1]

1 2 3
4 5 6 7 8 9 10
11 12 13 14 15 16 17
18 19 20 21 22 23 24
25 26 27 28 29 30 31

[表2]

a b
c d

解説・解法

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(1)この問題は単純に計算しましょう。

14×20-13×21=280-273=7

(2)(1)が超単純な計算問題の場合,そこそこ難しい(2)を解かせるための布石だったりすることもあります(大学入試問題でも同じことが言えます)。

まず,a,b,c,dという4つの文字がありますので,これを1つの文字に何とかしてまとめられないか?ということを考えましょう。aを基準とすると・・・

  • bは,aの次の日だから,bはaに1を足した数・・・b=a+1
  • cは,aの次の週だから,cはaに1週間(7日)を足した数・・・c=a+7
  • dは,bの次の週だから,dはbに7日を足した数・・・d=b+7=a+1+7=a+8

というわけで,b,c,dをaの式で表すことができました。では,これらをbc-adに代入しましょう。

bc-ad
=(a+1)(a+7)-a(a+8)
=a2+8a+7-(a2+8a)
=7

というわけで,aに全く関係のない7という数字が出てきており,7は(1)で計算した結果と同じ。これで証明完了になります。

カレンダーからある部分とある部分を掛けあわせて引いたりしたら,一定の数字になりますよ,ということを証明してくださいね,という問題は定期テストや入試にもでることがありますので,押さえておきましょう。

答案

(1)14×20-13×21=280-273=7

(答え)7

(2)b=a+1,c=a+7,d=a+8とおけるから,

bc-ad
=(a+1)(a+7)-a(a+8)
=a2+8a+7-(a2+8a)
=7

したがって,bc-adは7になる。

(証明終わり)

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