中学 数学

2次関数(中学)上の2点と原点を結ぶ三角形の面積

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例題

原点をOとし,関数y=x2のグラフ上に,x座標が1となる点Aと,x座標が3となる点Bをとります。このとき,

(1)直線ABの式を求めなさい。
(2)△OABの面積を求めなさい。

解説・解法

関数y=ax2のグラフと三角形の面積の問題は,定期テストはもちろんのこと,高校入試にも頻出分野で,必ず一度は(いや,やり方が分かるまで何度も)解いておきたいところです。

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(1)復習の意味を込めて,裏技を使わずにオーソドックスな方法で解いてみましょう(簡単な解き方は公式参照)。Aのy座標はy=(-1)2=1,Bのy座標はy=32=9なので,A(-1,1),B(3,9)となります。直線ABの式をy=ax+bとおくと,2点A,Bを通る1次関数を求める問題と同じになりますので,y=ax+bにA,Bの座標をそれぞれ代入して

1=-a+b・・・①
9=3a+b・・・②

①-②より,-8=-4a,a=2となり,これを①に代入して,1=-2+b,b=3

したがって,直線ABの式は y=2x+3 となります。

(2)三角形の面積の求め方ですが,慣れるまでは一苦労かも。まずはここまでを図にまとめてしまいましょう。

houbutsu-sankaku

青色のグラフがy=x2で,黒線で示した三角形が△OABとなり,この面積を求めます。このままだとどう求めて良いのかわかりませんので,補助線を1本引くことにします。直線ABのx=0(切片の部分)となる場所に,点を1個打ち,Cとします。

houbutsu-sankaku2

そして,原点Oと点C(0,3)を線で結びます(赤線)。そうすると,

△OAB=△OAC+△OBC

となりますので,それを利用します。まず△OACから見て行きましょう。90度右に回転してみてください。OCを底辺とすると,

  • (底辺の長さ)=OC=3,
  • (高さ)=(辺OCから点Aまでの距離)=(点Aのx座標の絶対値)=1

になります。ここから式が作れます。同様に,今度は90度左に回転してみると,OCを底辺とすると,

  • (底辺の長さ)=OC=3,
  • (高さ)=(辺OCから点Bまでの距離)=(点Bのx座標の絶対値)=3

となります。これらから,

△OAB=△OAC+△OBC
3\times1\times\frac{1}{2}+3\times3\times\frac{1}{2}
=6

となり,答えが求められます。

答案

(1)直線ABの式をy=ax+bとおくと,点A,Bを通るから

1=-a+b・・・①
9=3a+b・・・②

①-②より,-8=-4a,a=2,これを①に代入して,1=-2+b,b=3

(答え)y=2x+3

(2)C(0,3)とおくと,

△OAB=△OAC+△OBC
3\times1\times\frac{1}{2}+3\times3\times\frac{1}{2}
=6

(答え)6







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