中学 数学

1次関数(交点の座標の求め方)

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例題

次の式で表される2つの直線について,交点の座標を求めなさい。

(1) y=-x+4 と y=2x-5
(2) y=3x+1 と y=-2
(3) y=2x+1 と x=-3

交点の座標は,方程式を作って解くだけ

1次関数などの式で表される直線が2本あったとして,その式がそれぞれ,以下の2つだったとします。

  • y=ax+b
  • y=mx+n

これらの交点のx座標の求め方は,"y=..."以降の式

ax+b=cx+d

この方程式を解くと解決します。それで出てきたxの値を,もう一度どちらかの式に代入すればy座標も出てきます。

解説・解法

では解き方のとおりやってみましょう。

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(1)では,

-x+4=2x-5
-3x=-9
x=3

ということで,交点のx座標は-3になり,x=3をy=-x+4に代入してみると

y=-3+4
y=1

となり,これが交点のy座標になります。つまり交点の座標は(3,1)です。ちなみにx=3をy=2x-5に代入すると

y=2×3-5
y=1

となって,同じ結果になります。2つの直線が交わるところなので,x座標,y座標とも同じにならないと逆に計算ミスの可能性もありますね。

(2)先ほどの(1)の考えを応用します。y=3x+1 と y=-2 の交点なので,3x+1=-2を解けば良いのです。

3x+1=-2
3x=-3
x=-1

というわけで,x座標は-1と出ました。これをy=3x+1に代入すれば

y=3×(-1)+1
y=-2

ですね。交点の座標は(-1,-2)。ちなみに直線y=-2ともう1本の直線の交点は必ずy=-2にならないと変ですよね(y=-2の上に乗っかってるんだったらどの直線と交わってもy座標は-2にならないとマズいので・・)。なので,x=-1をy=3x+1に代入する,というのは検算代わりに行いましょう。

(3)は(2)と似たようでちょっと違うような問題かもしれません。が,ここまで解けばなんとなく見えるかもしれませんね。y=2x+1 に x=-3 を代入すれば済みます。

y=2×(-3)+1
y=-6+1
y=-5

x座標はあらかじめx=-3と出ているので,求める座標は(-3,-5)になります。

答案

(1)交点のx座標は,

-x+4=2x-5
-3x=-9
x=3

これをy=-x+4に代入して,

y=-3+4
y=1

(答え)(3,1)

(2)交点のx座標は,

3x+1=-2
3x=-3
x=-1

(答え)(-1,-2)

(3)交点のy座標は,y=2x+1 に x=-3を代入して

y=2×(-3)+1
y=-6+1
y=-5

(答え)(-3,-5)







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