中学 数学

三平方の定理とは

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例題

下の図の直角三角形について,(1)~(3)の問いに答えなさい。
chokkaku

(1) a=3cm,b=4cmのとき,cの長さを求めなさい。
(2) b=5cm,c=9cmのとき,aの長さを求めなさい。
(3) a=4cm,c=6cmのとき,この三角形の面積を求めなさい。

三平方の定理(ピタゴラスの定理)とは

上の図のような直角三角形で,斜辺をはさむ2つの辺の長さがa,bで,斜辺の長さをcとするとき,

a+ b= c2

が成り立ちます。これを三平方の定理(ピタゴラスの定理)といいます。

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解説・解法

(1)a=3cm,b=4cmなので,三平方の定理より,

3+ 4= c2
9 + 16 = c2
c= 25
c = ±5

(cは長さですから)c>0より,c=5cm

(2)b=5cm,c=9cmなので,三平方の定理より,

a+ 5= 92
c+ 25 = 81
a=  56
a=\pm2\sqrt{14}

a>0より,a=2\sqrt{14}cm

(3)まず,bの長さを求めましょう。

42+b= 62
16+b= 36
b= 20
b=\pm2\sqrt{5}

b>0より,b=2\sqrt{5}cm

(△ABCの面積)=a×b×\frac{1}{2}で求められますので,面積は

4 \times 2\sqrt{5}\times \frac{1}{2}
=4\sqrt{5}

答案

(1)三平方の定理より

3+ 4= c2
c= 25
c = ±5

c>0より,c=5

(答え)5cm

(2)三平方の定理より,

a+ 5= 92
a=  56
a=\pm2\sqrt{14}

a>0より,a=2\sqrt{14}cm

(答え)2\sqrt{14}cm

(3)三平方の定理より,

(3)まず,bの長さを求めましょう。

42+b= 62
b= 20
b=\pm2\sqrt{5}

b>0より,b=2\sqrt{5}cm,したがって,求める面積は

4 \times 2\sqrt{5}\times \frac{1}{2}
=4\sqrt{5}

(答え)4\sqrt{5}cm2







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