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1次関数(x,yの増加量と変化の割合)

公開日: : 中学, 数学

例題

(1)1次関数 y=\frac{3}{2}x+2について,xの値が8増加したときの,yの増加量を求めなさい。
(2)1次関数y=ax+bについて,xが4から7まで増加したとき,yは3から-6まで減少した。このとき,a,bの値を求めなさい。

変化の割合(おさらい)

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1次関数の(「変化の割合の求め方」でも習いましたが,

(変化の割合)=(yの増加量)÷(xの増加量)・・・①

という式で表されました。定期テストにそこそこの頻度で出てくるので,覚えてほしいのですが,①式の左辺・右辺にそれぞれ(xの増加量)をかけて左辺と右辺を逆転すれば

(変化の割合)×(xの増加量)=(yの増加量)÷(xの増加量)×(xの増加量)
(yの増加量)=(変化の割合)×(xの増加量)・・・②

という式が得られます。②の式を使って(1)を解いてみます。

解説・解法

(1)②の式より

(yの増加量)=(変化の割合)×(xの増加量)
(yの増加量)=\frac{3}{2}\times 8=12

と,あっさりyの増加量が求められました。

(2)これは①の式に忠実にやっていけばまずaが出ます。xが4から7まで増加しているので,xの増加量は7-4=3です。また,yは3から-6まで減少しているので,yの増加量は-6-(3)=-9です。これを①式に代入すれば

a=(変化の割合)=(yの増加量)÷(xの増加量)
a=-9÷3=-3

となります。これをy=ax+bのaに代入すると,y=-3x+bとなります。あとは,1次関数の求め方(切片が分かっている場合)例題(2)を参照しながら,「増加前のx,y」または「増加後のx,y」を代入すれば答えが出ます。今回は増加前のx,yの値を代入してみましょう。増加前はx=4のとき,y=3なので,これをy=-3x+bに代入して

3=-3×4+b
b=15

という段取りでbを求められます。【答案】では増加後のx,yの値を代入してみます(結果は同じになります)。問題はきっちり読みましょうね。「a,bの値を求めなさい」なので「直線の式」まで求めると高確率で減点されます。

答案

(1)(yの増加量)=(変化の割合)×(xの増加量)より,

(yの増加量)=\frac{3}{2}\times 8=12

(答え)12

(2)xの増加量は3,yの増加量は-9だから

a=\frac{-9}{3}=-3

y=-3x+bに増加後の値x=7,y=-6を代入して

-6=-3×7+b
b=15

(答え)a=-3,b=15

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