中学 数学

多角形の内角の和

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例題

(1)次の図形の内角の和は何度になるか求めなさい。①三角形 ②四角形 ③五角形
(2)nを自然数とするとき,n角形の内角の和を,nを用いて表しなさい。
(3)内角の和が1980°になる図形は何角形か求めなさい。

多角形の内角の和

「三角形の内角の和は180°」という知識は小学校で学びました。これを使って,四角形や五角形など,他の多角形の内角の和を求めることができます。

まず,四角形の描いてみましょう。一つの頂点から対角線を引いてみます。すると,四角形が三角形2つに分かれましたね。そういえば三角形の内角の和は180°だったので,四角形の内角の和は180°が2つ分?と考えれば,それが正解です。

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図にまとめてみました。図の左,四角形なら対角線が1本引けて,三角形が2つに分かれますよね。三角形の内角の和は180°なので,180°×2=360°となればOKです。同じように,五角形も,六角形も,内角の和を求めていくことができます。

解説・解法

(1)①三角形の内角の和は180°になるのは小学校の範囲ですので割愛します。②四角形も,先ほどの「多角形の内角の和」の項目で学習したので大丈夫でしょう。180°×2=360°になります。

③の五角形はどうでしょうか。四角形と同じように,まず五角形を描いてみて,1つの頂点から他の頂点へ,対角線を引いてみてください。対角線は全部で2本引けると思います。そして,三角形は3つできたと思います。三角形の内角の和は180°なので,180°×3=540°で五角形の内角の和は540°になります。

(2)図には六角形も示していますが,同じように1つの頂点から他の頂点に対角線を引いてみると,全部で3本引けます。三角形は4つに分かれますので180°×4=720°となります。少しずつ規則性が見えてきませんか?

  • 四角形:三角形2つに分かれる
  • 五角形:三角形3つに分かれる
  • 六花形:三角形4つに分かれる

・・そうです。頂点の数から2を引いた分だけ三角形に分かれるのです。この問題では頂点の数をn(n角形)としていますので,そこから2を引いたもの,つまり(n-2)個の三角形ができるのです。三角形の内角の和は180°ですので,答えは180°×(n-2)となります。

(3)(2)の「n角形の内角の和は180°×(n-2)」から方程式を作りましょう。

180°×(n-2)=1980°
n-2=11
n=13

となり,十三角形であることがわかります。

答案(答えのみ)

(1)①180° ②360° ③540°
(2)180°×(n-2)
(3)十三角形







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