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多角形の外角の和

公開日: : 中学, 数学

例題

(1)次の図形の外角の和をそれぞれ求めなさい。 ①三角形 ②五角形
(2)nを整数とするとき,n角形の外角の和を求めなさい。
(3)正十八角形の1つの外角を求めなさい。

解説・解法

(1)「外角って一体何?」から始めましょう。たとえば三角形の場合。

gaikaku_sankaku

上図の△ABCのそれぞれの辺を延長してみました。この図で言えば,辺BCをCの方向に延長します。この延長したものと,辺ACとの間にできる角を「∠Cの外角」と呼びます。言葉で分かりにくい場合,図を描いて考えてみましょう。

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ところで,内角と外角は同じ線上に並んでいることに気がついたでしょうか?同一直線上→180°を利用して

  • ∠Aの内角+∠Aの外角=180°・・・①
  • ∠Bの内角+∠Bの外角=180°・・・②
  • ∠Cの内角+∠Cの外角=180°・・・③

①+②+③より,

∠Aの内角+∠Bの内角+∠Cの内角+∠Aの外角+∠Bの外角+∠Cの外角=180°+180°+180°
△ABCの内角の和 + △ABCの外角の和 =540°
180° + △ABCの外角の和 = 540°
△ABCの外角の和 = 360°

同じようにして,五角形の外角の和も求めてみましょう。

gaikaku_gokaku

先に五角形の内角の和を計算しておくと便利かもしれませんね。「内角の和の求め方」も参考にして,

180°×(5-2)=540°

また,内角と外角の和は180°だから,

  • ∠Aの内角+∠Aの外角=180°・・・①
  • ∠Bの内角+∠Bの外角=180°・・・②
  • ∠Cの内角+∠Cの外角=180°・・・③
  • ∠Dの内角+∠Dの外角=180°・・・④
  • ∠Eの内角+∠Eの外角=180°・・・⑤

①~⑤をそれぞれ足して

(五角形ABCDEの内角の和)+(五角形ABCDEの外角の和)=180°×5
540°+(五角形ABCDEの外角の和)=900
(五角形ABCDEの外角の和)=360°

ということで360°になりました。

(2)あれ?三角形も五角形も外角の和は360°だった。ってことは多角形の外角の和は全部360°じゃない?って思った方,正解です。結局のところ

(n角形の内角の和) + (n角形の外角の和) = 180°×(n角形の頂点の数)
180°×(n-2) + (n角形の外角の和) = 180°×n
(n角形の外角の和) = 180°×n – 180°×(n-2)
(n角形の外角の和) = 180°×n – 180°×n + 360°
(n角形の外角の和) = 360°

計算の途中でnが消え,結局360°となるのです。

(3)「正多角形(正○○角形)」ではすべての内角が同じでしたね。ということは外角も,180度から内角を引けば出てくるので,すべて同じになります。(2)から,正多角形の外角の和は360°ということが分かっているので,

正多角形の1つの外角=360°÷頂点の数

で求めましょう。

360°÷18=20°

が求める答えとなります。

答案(答えのみ)

(1)①360° ②360°
(2)360°
(3)20°

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