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正多角形の内角の大きさを求める

公開日: : 中学, 数学

例題

正十二角形の1つの内角の大きさを,(1),(2)のそれぞれの方法で求めなさい。

(1)多角形の内角の和を利用する方法
(2)多角形の外角の和を利用する方法

解説・解法

(1)「多角形の内角の和」の求め方をまずおさらいしましょう。

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頂点の数がn個ある多角形(n角形)では,内角の和は

180°×(n-2)

で求められました。この式にn=12を代入すれば,まず十二角形の内角の和が求められますので,

180°×(12-2)=180°×10=1800°

となります。正多角形の場合,それぞれの内角の大きさは全て同じになりますので,頂点の数(12)で割って

1800°÷12=150°

となりますので,1つの内角の大きさは150°となります。

(2)このことを「多角形の外角の和」からのアプローチで解くこともできます。多角形の外角の和は,何角形かにかかわらず,360°でした。正多角形なら外角の大きさはすべて等しいので,正十二角形の場合,1つの外角は

360°÷12=30°

になります。また,(内角)+(外角)=180°でしたので,(外角)=180°-(内角)として求めることができ,

(正十二角形の外角の大きさ)=180°-(正十二角形の内角の大きさ)=180°-30°=150°

となり,(1)と同じ結果が得られます。このように,2通りの解き方で正多角形の1つの内角の大きさを求める問題が,定期テストでたまに出ることがあるな,と思いこの例題を書いてみました。

答案

(1)n角形の内角の和は180°×(n-2)より,正十二角形の内角の和は

180°×(12-2)=1800°

これを頂点の数で割って,正十二角形の1つの内角の大きさは

1800°÷12=150°

(答え)150°

(2)多角形の外角の和は360°より,正十二角形の1つの外角の大きさは

360°÷12=30°

内角と外角の和は180°だから,正十二角形の1つの内角の大きさは

180°-30°=150°

(答え)150°

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