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式が3つ・文字が3つの連立方程式

公開日: : 中学, 数学

例題

次の連立方程式を解きなさい。

x+y=1・・・①
y+z=2・・・②
x+z=5・・・③

解説・解法

「式が3つ,文字が3つの連立方程式」は教科書でも発展レベルの問題ですが,解き方の基本的な考えが公立入試で誘導付きで出題されたこともあります。なので,解き方をマスターしておいた方が良いですね。

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文字が3つ,式が3つの場合,

  • 3つの式のうち,2つの式から1つの文字を消去した式を作る
  • 文字を消去した式と,残った式で連立方程式を作って解く

このやり方が一般的です。あとは加減法代入法を使って解いていきます。では実際にやり方に沿って解いてみましょう。①番の式から②番の式を引くと

x+y-(y-z)=1-2
x-z=-1・・・④

となり,xやzなどの値は求められなかったものの,新たな式が1つ得られました。④の式はxとzだけの式で,③もxとzだけの式なので,この2つの式で連立方程式を解くと,解が1つ出そうな気がしませんか?

③+④で式を作りましょう。

x+z+(x-z)=5-1
2x=4
x=2

となり,xが求められました。x+yについての式が①番,x+zについての式が③番なので,この勢いで他の文字も出せそうですね。この結果を①に代入すると

2+y=1
y=-1

x=2を③に代入すると,

2+z=5
z=3

となり,全ての文字について解が得られました。

答案

①-②より

x+y-(y-z)=1-2
x-z=-1・・・④

③+④より,

x+z+(x-z)=5-1
2x=4
x=2

x=2を①に代入して

2+y=1
y=-1

x=2を③に代入して

2+z=5
z=3

(答え)x=2,y=-1,z=3

 

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