中学 数学

文字式による説明(3桁の自然数が11の倍数になるとき)

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例題

3けたの自然数Aがあり,Aの百の位の数と一の位の数の和が十の位の数と等しくなれば,Aは11の倍数である。このわけを,文字を使って説明しなさい。

例題の例

たとえばA=132の場合,百の位は1,一の位は2ですね。これらを足すと1+2=3で十の位と等しくなります。

A=132を11で割ってみると,132÷11=12となり,132は11の倍数であることが分かります。

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また,A=275の場合,百の位は2,一の位は5で,これらを足すと2+5=7となり,十の位の数と等しくなります。

この場合も,A=275を11で割ってみると,275÷11=25となり,275は11の倍数であることが分ります。

これを,「文字を使って」証明していきましょう。

解説・解法

3の倍数の見分け方」の「解法・解説」にも書きましたが,「3けたの自然数」と来たら,自然数a,b,cを使い,百の位の数をa,十の位の数をb,一の位の数をcとおきましょう。すると,

  • Aの百の位の数と一の位の数の和が十の位の数と等しい

このときに何が言えるでしょうか。言っていることを文字に置き換えてみると,

a+c=b・・・①

が言えますね。また,「3の倍数の見分け方」通りに,3けたの自然数Aは自然数a,b,cを用いて

A=100a+10b+c・・・②

とおけます。さて,②の形をみて,どこから11の倍数を作っていけば良いか見当がつきませんね・・・・。

なので,「連立方程式」の考え的に,文字を1つ消去する方向に向かいましょう。①をcについて解いてみると

c=b-a・・・①'

②に①'を代入して

A=100a+10b+(b-a)
=99a+11b
=11(9a+b)

となり,見事11でくくれましたので,11の倍数になりました。あとはこれを説明っぽく仕上げれば終わりです。

答案

Aの百の位の数をa,十の位の数をb,一の位の数をcとおくと,

A=100a+10b+c・・・①

とおける。また,Aの百の位の数と一の位の数の和が十の位の数に等しいから

a+c=b
c=b-a・・・②

とおける。①に②を代入して

A=100a+10b+b-a
=99a+11b
=11(a+b)

a+bは自然数だから,11(a+b)は11の倍数となる。したがって,Aの百の位と一の位の和が十の位の数に等しければ,Aは11の倍数となる。







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