中学 数学

2元1次方程式の整数解の問題(連立方程式の応用)

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例題

2桁の自然数Aがあり,Aの十の位の数と一の位の数を入れ替えた数をBとする。A+B=121のとき,Aをすべて求めなさい。ただし,A<Bとする。

解説・解法

2けたの整数で十の位と一の位を入れ替える問題」は式による説明のときにやりましたね。さらに,似たような問題を連立方程式のときに学習しました。じゃあこれもパターン通りにやっていけばいいかな?と思って,とりあえずやっていきましょう。

この問題のパターンは,Aの十の位をx,一の位をyとおくことでした。そうすると,Aをx,yの式で表すことが出来ますし,Bも同様です。

A=10x+y
B=10y+x

さらに,「A+B=121」なので,それに代入してみましょう。

10x+y+10y+x=121
11x+11y=121
x+y=11・・・①

おぉ、これで式が1つ作れた!さあ、あともう1つ作れば完成だ!

・・・

・・・と思ったらなんと作る式がないことに気がついたでしょうか。作る式がないんです。ええ。

ここで,xやyの条件を確認しましょう。xは「Aの十の位」だったので,1~9のうちどれかの自然数が入りますよね。ということは,xに1から順に入れて,yの数字を出して,Aも出してみることで,力ずくではありますが,この問題が解決できるかもしれません。

では,x=1のときどうなるか?①に代入すると,1+y=11でy=10となります。yはAの「一の位の数」だったので,1~9のどれかでなければいけません。一の位が10になることはないので,この場合はダメですね。以下,xを1つずつ増やしていってみましょう。

x=2のとき,①に代入すると2+y=11でy=9,したがってA=29になります。BはAの十の位と一の位を入れ替えた数なので,B=92となり,A<Bがちゃんと成り立っています。これはOKですね。

x=3のとき,①に代入して3+y=11でy=8,A=38になります。B=83より,A<Bが成り立って,これもOK。

x=4のとき,①に代入して4+y=11でy=7,A=47となり,B=74より,A<Bが成り立って,これもOK。

x=5のとき,①に代入して5+y=11でy=6,A=56となり,B=65より,A<Bが成り立ちますのでこれもOK。

x=6のとき,①に代入して6+y=11でy=5,A=65となり,B=56となります。このときA>Bとなり,「A<B」の条件から外れます。この場合は成り立ちませんよね。

同様に計算して,xが7以上のときを考えてみても,yは4以下になりますので「Aの十の位」>「Bの十の位」となってしまいますので,この場合は成り立ちませんね。

ということで,x=2,3,4,5のときのみが正解となり,このときA=29,38,47,56となります。

答案

Aの十の位の数をx,Aの一の位の数とすると,

A=10x+y
B=10y+x

と表せる。A+B=121より,

10x+y+10y+x=121
11x+11y=121
x+y=11・・・①

①に代入してyの値を求めると,

x=1のとき,1+y=11よりy=10,yは1けたの自然数より,不適。
x=2のとき,2+y=11よりy=9 A=29,B=92より題意を満たす。
x=3のとき,3+y=11よりy=8 A=38,B=83より題意を満たす。
x=4のとき,y=7,A=47,B=74より題意を満たす。
x=5のとき,y=6,A=56,B=65より題意を満たす。
x=6のとき,y=5,A=65,B=56よりA>Bとなり不適。
x≧7のときもA>Bとなり不適。したがって求めるAの値は29,38,47,56

(答え)A=29,38,47,56

 







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