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2次関数(中学)三角形の面積を二等分する直線の式

公開日: : 最終更新日:2015/04/07 中学, 数学 ,

例題

原点をOとし,関数y=\frac{1}{2}x^{2}のグラフ上に,x座標が-2となる点Aと,x座標が4となる点Bをとる。

houbutu_sankaku

(1)直線ABの式を求めなさい。
(2)△OABの面積を求めなさい。
(3)点Aを通り,△OABの面積を2等分する直線の式を求めなさい。

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解法・解説・答案例

(1)「2点を通る直線の式の求め方」通りにやっていきましょう。点Aのy座標は,y=\frac{1}{2}x^{2}にx=-2を代入して

y=\frac{1}{2} \times(-2)^{2}=\frac{1}{2} \times 4 =2

したがって,点Aの座標は(-2,2)

また,点Bのy座標は,y=\frac{1}{2}x^{2}にx=4を代入して

y=\frac{1}{2} \times 4^{2}=\frac{1}{2} \times 16 =8

したがって,点Bの座標は(4,8)

直線ABの式をy=ax+bとすると,y=ax+bにAの座標とBの座標を代入して,

(Aの座標を代入)2=-2a+b・・・①
(Bの座標を代入)8=4a+b・・・②

①-②より

-6=-6a,a=1

これを①に代入して

2=-2×1+b,b=4

したがって,直線ABの式は y=x+4

(答え)y=x+4

(2)は,「関数y=ax2上の2点と原点を結んだ三角形の面積」でも取り上げましたが,(1)の問題で求めた直線の切片4を使います。C(0,4)とおくと,

△OAB=△OAC+△OBC・・・③

OCを底辺として△OAC,△OBCの面積を求めると

△OAC=4×2÷2=4
△OBC=4×4÷2=8

③の式に戻して

△OAB=△OAC+△OBC=4+8=12

(答え)12

(3)問題の図を眺めてみましょう。「点Aを通り,△OABの面積を二等分」するにはどうすれば良いでしょうか。

OBを底辺として,Aまでの高さは共通に保ったまま,底辺を半分にしてしまいましょう。底辺を半分にするために,OBの中点をDして,Dの座標を求めましょう。2点の中点の座標の求め方は,x座標・y座標ごとにそれぞれ足し,2で割ります。

x座標については,原点のx座標は0,点Bのx座標は4なので,

(点Dのx座標)=(0+4)÷2=2

同様にしてy座標も求めると

(点Dのy座標)=(0+8)÷2=4

したがって,点Dの座標は(2,4)になります。

houbutu_sankaku2

あとは図のように,2点A,Dを通る直線の式を求めれば,その直線が△OABの面積を2等分する直線の式になります。

直線ADの式をy=ax+bとおき,A,Dの座標をそれぞれ代入します。

A(-2,2)を通るから 2=-2a+b・・・①
D(2,4)を通るから 4=2a+b・・・②

①-②より,-2=-4a,a=\frac{1}{2}

これを①に代入すると 2=-1+b, b=3

したがって求める直線の式はy=\frac{1}{2}x+3

(答え)y=\frac{1}{2}x+3

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