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2乗に比例する関数 変化の割合からaの値を求める

公開日: : 中学, 数学

例題

2つの関数

y=-2x+3・・・①
y=x2・・・②

がある。xの値がaからa+2まで増加するとき,①と②の変化の割合が等しくなる。このとき,aの値を求めなさい。

解法・解説

①は1次関数なので,aのあり・なしに関わらず,変化の割合は一定で(「1次関数の変化の割合の求め方」の項目も参照ください),傾き(y=ax+bのaの部分)の値と同じになります。したがって,

(変化の割合)=(傾き)=-2

となりますね。

一方,②の場合,変化の割合を計算する必要があります。

(変化の割合)=(yの増加量)/(xの増加量)

でしたので,xの増加量と,yの増加量を求め,それを上記の式に代入することを考えていきましょう。

まずxの増加量を求めましょう。xがaからa+2まで増加するとき,xの増加量は,(増加後のxの値)-(増加前のxの値)で求められますので,

(a+2)-a=2

となります。同様に,xがaからa+2まで増加したときのyの値を,それぞれaを使って表しましょう。

x=aのとき,②にx=aを代入して

y=a2

x=a+2のとき,②にx=a+2を代入して

y=(a+2)2=a2+4a+4

関数②で,x=aからx=a+2まで増加したとき,yの増加量は,(x=a+2のときのyの値) – (x=aのときのyの値)で計算します。

(yの増加量) = a2+4a+4 – a2 = 4a+4

したがって,②のx=aからx=a+2まで増加したときの変化の割合は

(変化の割合) = (yの増加量)/(xの増加量)=(4a+4)/2=2a+2

これで②の変化の割合をaを使って表すことができました。①の変化の割合は-2だったので,

2a+2=-2
2a=-4
a=-2

となり,aの値が求められます。【答案】では変化の割合の公式を使った,計算が比較的楽に済む方法を紹介します。「変化の割合の公式」のページも参照ください。

答案

②の変化の割合は

1{a+(a+2)}=2a+2

これが①の変化の割合-2と等しいので

2a+2=-2
2a=-4
a=-2

(答え)a=-2

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