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2次方程式(整数解をもつときの定数を求める)

公開日: : 中学, 数学

例題

pを自然数とするとき,2次方程式 x2-px+20=0 の解が整数となるようなpの値をすべて求めなさい。

解説・解法

まず,2次方程式 x2-px+20=0 の解をx=a,x=bとします。

そして,解がx=a,x=bとなるように2次方程式をもう一度作ります。

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x=a,x=bを階にもつ2次方程式は,因数分解の解き方にならって,こう書き表せます。

(x-a)(x-b)=0
x2(a+b)x+ab=0

これと

x2px+20=0

xの係数と,定数項を見比べてみてください。xの係数について

a+b=p・・・①

定数項(数字だけの項)について

ab=20・・・②

が言えます。ここから整数の問題ですが,②の「ab=20」より,abの値(aとbをかけた値)が正となっています。aとbの積が正ということは,aとbが同じ符号(aとbともに正,またはaとbともに負)だということが言えます。

また,①より,pは自然数ですので,(a,bはもともと整数の上に,足すと自然数になるため)a,bがともに自然数となることが言えます。

あとは,2元1次方程式の整数解の問題と同様に,解のa,bに具体的な数字を入れていきます。

②のab=20より,かけて20になる数の組を見てみましょう。

(a,b)=(1,20),(2,10),(4,5),(5,4),(10,2),(20,1)

したがって,

(a,b)=(1,20),(20,1)のとき,p=a+b=21
(a,b)=(2,10),(10,2)のとき,p=a+b=12
(a,b)=(4,5),(5,4)のとき,p=a+b=9

上記3パターンより,求めるpの値は9,12,21となります。

答案

2次方程式x2-px+20=0の解をx=a,x=bとすると,x2-(a+b)x+ab=0より

a+b=p・・・①
ab=20・・・②

①,②とp>0,ab>0より,a>0,b>0・・・③

③の条件で②を満たす(a,b)の組は

(a,b)=(1,20),(2,10),(4,5),(5,4),(10,2),(20,1)

以上より

(a,b)=(1,20),(20,1)のとき,p=a+b=21
(a,b)=(2,10),(10,2)のとき,p=a+b=12
(a,b)=(4,5),(5,4)のとき,p=a+b=9

したがって,求めるpの値は,

p=9,12,21

(答え)p=9,12,21

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