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相似(平行・三角形と線分の比)

公開日: : 中学, 数学

例題

図の三角形で,BC//DE,AB=6cm,AD=4cm,DE=6cm,AE=5cmのとき,次の(1)~(3)に答えなさい。

(1)△ABC∽△ADEを証明しなさい。
(2)BCの長さを求めなさい。
(3)ECの長さを求めなさい。

souji_heikou

解説・解法

(1)の証明問題から片付けていきましょう。BCとDEが平行ですので,これを使うと簡単に2つの角が等しいことが言えます。

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△ABCと△ADEにおいて

∠Aは共通・・・①

また,BC//DEなので,平行線の同位角より

∠ABC=∠ADE・・・②

①,②より,2組の角がそれぞれ等しいので,△ABC∽△ADE (証明終わり)

平行線の同位角だけで証明を完結できます。別解は【答案】で紹介します。

(2)(1)で証明した三角形の相似を使って,相似比を求めましょう。△ABCと△ADEでそれぞれ対応しており,辺の長さが分かるものを探します。

AB=6cm,AD=4cmを使いましょう。相似比は

AB:AD=6:4=3:2

となりますので,この3:2を使ってBCの長さを求めます。BC=xcmとおくと

(BC:DE=)
x:6=3:2
2x=18
x=9

となります。

(3)相似な三角形の組の中にECの長さが入っているものがありませんので,間接的に求めましょう。ACの長さが分かれば,AEの長さは分かっているので,ECの長さも分かります。ACの長さを求めていきましょう。AC=ycmとすると,△ABC∽△ADE,相似比3:2より,

(AC:AE=)
y:5=3:2
2y=15
y=7.5

となるので,

EC=AC-AE=7.5-5=2.5(cm)

となります。

答案

(1)△ABCと△ADEにおいて,BC//DEなので,平行線の同位角より

∠ABC=∠ADE・・・①
∠ABC=∠AED・・・②

①,②より,2組の角がそれぞれ等しいので,△ABC∽△ADE (証明終わり)

(2)△ABC∽△ADEで,相似比はAB:AD=6:4=3:2より,BC=xcmとおくと,BC:DEの長さの比より

x:6=3:2
2x=18
x=9

(答え)9cm

(3)AC=ycmとおくと,AC:AEの比より

y:5=3:2
2y=15
y=7.5

また,EC=AC-AEより

EC=7.5-5=2.5

(答え)2.5cm

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