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2014年センター試験数学1A解説・考え方 第1問[1]

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2014年センター試験の数学1・数学Aの第1問[1]の,解答に至るまでのざっくりとした考え方を示していきます。例年このジャンルが頻出なのですが,「分母の有理化」問題です。問題順に,誘導に従って解いていきましょう。

(1)

まず,abから。aとbをかけ合わせると,分母も分子も(x+y)(x-y)=x2-y2の形に持っていけますので,これは楽勝でしょう。

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a+bは,さすがにaとbのそれぞれを有理化しないと難しいかなと。コツコツと有理化していきましょう。

a2+b2では,前の問題で解いた,a+bとabを利用しましょう。

(a+b)2=a2+2ab+b2

この式の2abを右辺から左辺に移項して

(a+b)2-2ab=a2+b2

が導き出せます。これは「数と式」以外でも,さまざまな分野で使いこなせると武器になる公式なので,使っていきましょう。

(2)

(1)の結果からab=[ア](2ですね)を引っ張りだし,また誘導どおりにa2+b2+4(a+b)=[ケコ]も計算しておきましょう。その際,解答欄の形から,計算結果にルートが含まれていると,それは計算ミスだということにも気づいておいて下さい!(センター試験では空欄の形から計算ミスが防げることが多いです)

さて,解答欄を見るとaだけの式になっています。ということは,「bをaで表せ!」・・ということでしょう。ab=2(aもbも正の数ですね)より

b=\frac{2}{a}・・・①

これを,与えられた式の中に代入してあげましょう。

a2+b2+4(a+b)=16

ここに①を代入して,16も左辺に移項します。

a^{2}+(\frac{2}{a})^{2}+4(a+\frac{2}{a})-16=0

分母にaやa2が出てきますので,この式の両辺にa2を掛けてあげると,a4やa3が出現し,[サ]~[ソ]まで一気に完成です。







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