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2014年センター試験数学1A解説・考え方 第2問(2次関数)

公開日: : 数学, 高校

2014年センター試験・数学1Aの第2問は2次関数の問題。例年,配点は25点を占めていますが,2015年の新課程で「データの分析」が絡んでくると,若干配点が落ちるのではないかという見方もあります。

2014年度は難易度的には簡単な方で,計算量や問題数も標準的なものでしたので,是非得点源にしたいところです。同時に,[ノ],[ハ]などに当てはめる不等号ミスなど,細かいミスによる失点を抑えることも念頭に置いていきましょう。

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[ア]~[オ]についてはまず,①を平方完成しましょう。

x2+2ax+a2+2a2-6a-36
(x+a)2+2a2-6a-36

ここから頂点のx座標・y座標が出ますので,サクッと片付けておきたいところです。

(1)

pはGとy軸との交点の座標です。中学校の復習(y軸・x軸との交点の求め方)ですが,「y軸」と来れば「x=0」を代入し,さらにそのy座標が-27ですので,

-27=(①にx=0を代入した値)

となり,aの2次方程式ができます。それを解くと[カ],[キク]が出ますが,解答欄の形からどちらが[カ]でどちらが[キク]か間違えないようにしましょう。([カ]が3で[キク]が-1)

あとは,a=3のとき,[ア]~[オ]で出した頂点の座標に代入します。そこで得られた座標と,さらに,a=-1のときに出した頂点の座標とを比較し,どれだけ増加しているかを引き算で出せばOKです。

(2)

②の不等式を導くのに,判別式Dを用いても良いのですが,前問でせっかく平方完成したならば,それを使っても良いでしょう。Gは上に開いている放物線ですので,

(Gの頂点のy座標)≦0

となれば良く,そこからaの2次不等式②を導きます([サ]~[ソ])。

この範囲内で,pを求めるために再び①の式にx=0を代入します。すると,限られたaの範囲内での2次関数の最大・最小問題になりますので,aで平方完成して,最大・最小を求めていきます([タ]~[ニ])。

[ヌ]~[ヘ]までは,条件をしっかり押さえていきましょう。①の式をy=f(x)とすると

  • Gがx軸と共有点を持つ → aが②の範囲内
  • そのすべての共有点のx座標が-1より大きい → 軸(-a)>-1 かつ f(-1)>0

これらを連立させて解いた結果で一気に出てきます。解いてみた生徒の中には「-1より大きくなる」を「-1以上」と読み違えてf(-1)≧0として計算したため,[ハ]の不等号が合わず満点を逃した方がいました。ご注意を!

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