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相似の証明(2つの正三角形と共通な角)

公開日: : 中学, 数学

例題

下図で,△ABCと△ADEは正三角形であり,頂点Cは辺DE上にあるとします。このとき,△ABF∽△AECを証明しなさい。

seisankakkei_souji

解説・解法

「三角形の相似」の証明問題ですね。三角形の相似条件は覚えていますか?覚えていない方はまず「相似条件・相似比」のページを参照しましょう。

  • 3組の辺の比が等しい
  • 2組の辺の比と,その間の角がそれぞれ等しい
  • 2組の角がそれぞれ等しい

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今回は辺の長さが問題中にないので,おそらく一番下の「2組の角がそれぞれ等しい」ということを使って証明を進めていくことになりそうです。

まずどの角に着目すれば良いでしょうか。△ABCと△ADEは正三角形であることに気づきましょう。正三角形の1つの角は60°でした。まずこれが利用できそうです。証明する三角形に当てはめてみると

(△ABFの)∠ABF=60°
(△ACEの)∠ACE=60°

ということから

∠ABF=∠ACE・・・①

が導けます。もう1つの角を探すのは少し厄介ですが,ここは1つの「共通」な角を探しましょう。△ABCは正三角形なので,∠BAC=60°となります。図より,

∠BAF=60°-∠DAC・・・②

となりますね。また,△DAEも正三角形なので,∠DAE=60°となります。同じようにして

∠CAE=60°-∠DAC・・・③

が言えます。ということは,②と③は全く同じ結果になりますので,②,③より,

∠BAF=∠CAE・・・④

が言えますね。

今回の場合は∠DACを「共通な角」として,60°からその共通な角を引いていくことで,∠BAF=∠CAEを導いていけるというわけです。

あとは三角形の相似条件を書いて,証明終わりです。

答案例

△ABFと△AECで,

△ABCと△ADEは正三角形だから

∠ABF=∠AEC=60°・・・①

また,∠BAC=∠DAE=60°より

∠BAF=60°-∠DAC・・・②
∠CAE=60°-∠DAC・・・③

②,③より

∠BAF=∠CAE・・・④

①,④より,2組の角がそれぞれ等しいので,△ABF∽△AEC (証明おわり)

 

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