*

相似の証明(2つの正三角形と共通な角)

公開日: : 中学, 数学

例題

下図で,△ABCと△ADEは正三角形であり,頂点Cは辺DE上にあるとします。このとき,△ABF∽△AECを証明しなさい。

seisankakkei_souji

解説・解法

「三角形の相似」の証明問題ですね。三角形の相似条件は覚えていますか?覚えていない方はまず「相似条件・相似比」のページを参照しましょう。

  • 3組の辺の比が等しい
  • 2組の辺の比と,その間の角がそれぞれ等しい
  • 2組の角がそれぞれ等しい

スポンサードリンク
今回は辺の長さが問題中にないので,おそらく一番下の「2組の角がそれぞれ等しい」ということを使って証明を進めていくことになりそうです。

まずどの角に着目すれば良いでしょうか。△ABCと△ADEは正三角形であることに気づきましょう。正三角形の1つの角は60°でした。まずこれが利用できそうです。証明する三角形に当てはめてみると

(△ABFの)∠ABF=60°
(△ACEの)∠ACE=60°

ということから

∠ABF=∠ACE・・・①

が導けます。もう1つの角を探すのは少し厄介ですが,ここは1つの「共通」な角を探しましょう。△ABCは正三角形なので,∠BAC=60°となります。図より,

∠BAF=60°-∠DAC・・・②

となりますね。また,△DAEも正三角形なので,∠DAE=60°となります。同じようにして

∠CAE=60°-∠DAC・・・③

が言えます。ということは,②と③は全く同じ結果になりますので,②,③より,

∠BAF=∠CAE・・・④

が言えますね。

今回の場合は∠DACを「共通な角」として,60°からその共通な角を引いていくことで,∠BAF=∠CAEを導いていけるというわけです。

あとは三角形の相似条件を書いて,証明終わりです。

答案例

△ABFと△AECで,

△ABCと△ADEは正三角形だから

∠ABF=∠AEC=60°・・・①

また,∠BAC=∠DAE=60°より

∠BAF=60°-∠DAC・・・②
∠CAE=60°-∠DAC・・・③

②,③より

∠BAF=∠CAE・・・④

①,④より,2組の角がそれぞれ等しいので,△ABF∽△AEC (証明おわり)

 

関連記事

情報社会・インターネット・クレジットカード・電子マネー

「情報社会」とは テレビから入る映像,ラジオから聞こえる音声,新聞・雑誌などに見られる文字,これら

記事を読む

靴

連立方程式文章題(速さ・距離・時間)

例題 Aさんの家から学校まで2kmあります。 Aさんは8時に家を出て毎分60mの速さで歩いて学校

記事を読む

対称式の因数分解(数学Ⅰ)

例題 次の式を因数分解せよ. ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)+2abc 対

記事を読む

多項式の乗法(展開)

例題 次の式を展開しなさい。 (1)(a+b)(c+d) (2)(2a-3b)(a+4b)

記事を読む

2点を通る1次関数の求め方

例題 (3,-2),(-2,8)の2点を通る1次関数の式を求めなさい。 解説・解法 1次関数の

記事を読む

1次関数(グラフから直線の式を求める)

例題 下の図で,(1)青色で表される直線と,(2)赤色で表される直線の式を求めなさい。

記事を読む

多項式の計算(カレンダーの文章題)

例題 以下のは2015年1月のカレンダーを表したものです。これについて,(1),(2)に答えなさい

記事を読む

内陸型の工業地域と工業団地

内陸型工業地域 日本の主な工業地帯(工業地域)は太平洋ベルトに沿って位置している,と「太平洋ベルト

記事を読む

対頂角の性質(対頂角は等しい)

例題 以下の(1),(2)の図で,∠x,∠yの大きさをそれぞれ求めなさい。 (1) (2)

記事を読む

have been to ~ 「~に行ったことがある」(現在完了形の「経験」)

例文 I have been to the United States.(私はアメリカに行っ

記事を読む

Message

メールアドレスが公開されることはありません。 * が付いている欄は必須項目です

CAPTCHA


2017年度のマーク模試月別まとめ(センター試験対策)

各予備校から、年間のマーク模試ラインナップが揃ったようなので、自分用メ

2017センター試験英語解説 第2問B(find/suggest/how come)

Aパートに引き続き、2017年センター試験英語、第2問Bの解説です。第

2017センター試験英語解説 第2問A(後半)【フェスでウェイ】

2017年のセンター試験英語、問2Aパートの解説です。前半の問1~問5

2017センター試験英語解説 第2問A(前半)

2017年のセンター試験英語、第2問の解説を。第2問のAパートは文法語

2017センター試験(本試)英語 超ざっくり解説

2017年のセンター試験、問題が出ました。ので、英語の解説を「超ざっく

→もっと見る

PAGE TOP ↑