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2014年センター試験(追試験)数学1A解説・考え方 第4問(確率)(1)

公開日: : 数学, 高校

2014年センター試験・数学1Aの追試験。第4問は確率からの出題です。2015年度から,確率が選択問題になり,「条件付き確率」が加わったり,「期待値」が消えたり少し変化があるようですが,従来からある基本的な考え方は押さえておくべきでしょう。

この年の追試は(1)と(2)で若干ゲームの内容が違いますので,頭の切り替えが必要かもしれません。それではいきましょう。

先にゲーム内容の整理をしておきます。Aさん,Bさん,Cさんの3人がおり

  • Aと書かれた玉が3個
  • Bと書かれた玉が2個
  • Cと書かれた玉が1個

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合計6個の玉から,毎回玉を出し,そこに書かれた文字の人が勝ちというルール。このゲームを複数回行います。

(i)A,A,B,Cの順に勝つ確率

このゲームを4回するとき,勝者が順にA,A,B,Cとなる確率は・・・と書かれているので,順列的考え方を使いましょう。

(Aになる確率)×(Aになる確率)×(Bになる確率)×(Cになる確率)

と掛けあわせて,[ア]~[ウ]を求めればOKです。

(ii)Bが2回以上勝つ確率

ゲームを4回するときにBが2回以上勝つ確率を求める際に

(Bが2回勝つ確率)+(Bが3回勝つ確率)+(Bが全勝する確率)

を求めるよりも,

1-(Bが全敗する確率)+(Bが1回勝つ確率)・・・(*)

を求めたほうが計算が楽に済みますよね。Bが1回勝つ確率を求めるときは,反復試行の確率を使いましょう。4回中1回Bが勝ち,残りの3回Bが負けるので

4C1(\frac{1}{3})^{1}(\frac{2}{3})^{3}=\frac{32}{81}

同じようにして,Bが全敗の場合の確率も求めることができます。

4C0(\frac{1}{3})^{0}(\frac{2}{3})^{4}=\frac{16}{81}

 

これらを(*)の式に放り込めば[エ]~[キ]を求めることができます。

(iii)Aが3回,Bが2回,Cが1回勝つ確率

6回のゲームで,Aが3回,Bが2回,Cが1回それぞれ勝つ確率はどうやって求めましょう。1回の試行でAが勝つ確率は\frac{1}{2},Bの勝つ確率は\frac{1}{3},Cの勝つ確率は\frac{1}{6},これを6回繰り返し,Aが3回,Bが2回,Cが1回勝ちますので,こういう場合は反復施行の確率の応用版を使いましょう。

\frac{6!}{3!2!1!}(\frac{1}{2})^{3}(\frac{1}{3})^{2}(\frac{1}{6})^{1}=\frac{5}{36}

となり,[ク]~[コ]の空欄を埋められます。長くなりましたので,次回に続きます。

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