中学 数学

三角形の合同条件(1組の辺が等しいときの残りの条件)

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例題

下図の△ABCと△DEFで,AB=DEのとき,他にどのような条件を付け加えると△ABC≡△DEFとなりますか?すべて挙げなさい。

sankaku_abc_def

三角形の合同条件

合同で習う「三角形の合同条件」は今後証明を進めていく上で,切っても切り離せないぐらい必ず出てきますので,しつこいぐらい何度も覚えて置いたほうがよいでしょう。以下の3つです。ちゃんと言えますか?

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  • 3組の辺がそれぞれ等しい
  • 2組の辺とその間の角がそれぞれ等しい
  • 1組の辺とその両端の角がそれぞれ等しい

 解説・解法

この問題では,赤色で示したAB=DEが分かっています。これが分かっているという前提で,三角形の合同条件に当てはめていきましょう。

「3組の辺がそれぞれ等しい」とき

「AB=DE」の他に,他に2組の辺が等しくなれば△ABC≡△DEFとなります。残りの2組の辺について

AC=DF,BC=EF

が言えるときですね。

「2組の辺とその間の角がそれぞれ等しい」とき

「AB=DE」が分かっていることなので,もう1組の辺の長さが等しければ,△ABC≡△DEFが言えますね。1組挙げていきましょう。たとえば,AB=DEの他にも,AC=DFが成り立つとすると,

ABとACの間の角(∠BAC)と,DEとDFの間の角(∠EDF)が等しければ,△ABC≡△DEFが言えます。

また,この他にも,AB=DE以外にBC=EFが成り立つとすると,ABとBCの間の角(∠ABC)と,DEとEFの間の角(∠DEF)が等しければ,△ABC≡△DEFと言えます。

これらをまとめると

  • AC=DF,∠BAC=∠EDF
  • BC=EF,∠ABC=∠DEF

このとき,△ABC≡△DEFが言えます。

「1組の辺とその両端の角がそれぞれ等しい」とき

「AB=DE」(1組の辺の長さが等しい)が分かっている状態で,その両端の角が等しければ良いので

∠BAC=∠EDF,∠ABC=∠DEF

これが成り立つとき,△ABC≡△DEFが言えます。

答案(答えのみ)

下の4つの条件

  • AC=DF,BC=EF
  • AC=DF,∠BAC=∠EDF
  • BC=EF,∠ABC=∠DEF
  • ∠BAC=∠EDF,∠ABC=∠DEF

 

 







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