数学 高校

sinθ+cosθの値からsinθcosθを求める 三角関数(数2)・三角比(数1)

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例題

sinθ+cosθ=\frac{1}{3}のとき,

sinθcosθ=-\frac{\fbox{A}}{\fbox{B}}

である.(A,Bには1~9の数字が入ります)

解説・解法

この手の問題は数学2の「三角関数」でも習うことがありますし,数学1の三角比の応用問題として習うこともあります。

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「sinθ+cosθの値が出ているときに,いきなりsinθcosθを出せ,と・・・?」と驚くかもしれませんが,sinθとcosθの関係式を見抜ければOKです。と言っても「どんな関係があったっけ・・・」となりますよね。

sin2θ+cos2θ=1 ・・・☆

これです。

で,これからどうやってsinθcosθの値を出すのかというと・・。もう,これはやり方を覚えて欲しいのですが,機械的に

sinθ+cosθ=\frac{1}{3}の両辺を2乗してください。

(a+b)2の展開で,乗法公式を忘れてしまった方は中3の多項式の乗法公式のページも参照してくださいね。

(a+b)2=a2+2ab+b2

では両辺,2乗してみましょう。

sinθ+cosθ=\frac{1}{3}

両辺2乗すると

(sinθ+cosθ)2=(\frac{1}{3})^{2}
sin2θ+2sinθcosθ+cos2θ=\frac{1}{9}

解りやすくするために順番を入れ替えます。

sin2θ+cos2θ+2sinθcosθ=\frac{1}{9}

さあ,sin2θ+cos2θが出てきました。☆より,これはsin2θ+cos2θ=1になりますよね。さらにこの1を右辺に移項して,両辺2で割ればsinθcosθが求められます。

1+2sinθcosθ=\frac{1}{9}
2sinθcosθ=\frac{1}{9}-1
2sinθcosθ=-\frac{8}{9}
sinθcosθ=-\frac{4}{9}・・(答)

答案例

sinθ+cosθ=\frac{1}{3}の両辺を2乗して

(sinθ+cosθ)2=(\frac{1}{3})^{2}
sin2θ+2sinθcosθ+cos2θ=\frac{1}{9}
1+2sinθcosθ=\frac{1}{9}
2sinθcosθ=-\frac{8}{9}
sinθcosθ=-\frac{\fbox{4}}{\fbox{9}}・・(答)

 答え

A…4,B…9

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