数学 高校

sin75°の値を求める 三角関数の加法定理(数2)

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例題

三角関数の加法定理を利用すると

sin75°=\frac{\sqrt{\fbox{A}}+\sqrt{\fbox{B}}}{\fbox{C}}

である.(A,B,Cにはそれぞれ1~9の数字を入れてください)

三角関数の加法定理

sinやcosの値が分かっている2つの角α,βを足したり,引いたりして求められる角(α+β)や(α-β)のsin,cosの値は以下のように求められます。

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  • sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ ・・・①
  • sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ ・・・②
  • cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ ・・・③
  • cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ ・・・④

数1で出てきた「三角比」の中で,30°(\frac{\pi}{6}),45°(\frac{\pi}{4}),60°(\frac{\pi}{3})のsinやcosの値を覚え(させられ)たと思います。

加法定理を使えば,これらを組み合わせて105°(60+45°)や15°(45°-30°)などの角が求められるようになります。

解説,解法,答案例

sin,cosが分かっている角(30°,45°,60°など)を組み合わせて75°を作ってみましょう。・・・そうですね,30°+45°で作れますね。では,加法定理の①式に,α=30°,β=45°として代入していってみましょう。

sin(30°+45°)=sin30°cos45°+cos30°sin45°
sin75°=\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}
sin75°=\frac{\sqrt{2}}{4}+\frac{\sqrt{6}}{4}
sin75°=\frac{\sqrt{\fbox{2}}+\sqrt{\fbox{6}}}{\fbox{4}}・・・(答)

答え

A:6,B:2(またはA:2,B:6),C:4







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