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三角関数 2倍角の公式(数学Ⅱ)

公開日: : 数学, 高校 ,

例題

三角関数の加法定理を利用すると,

\sin 2\theta=\fbox{A}\sin \theta \cos \theta
\cos 2\theta=\fbox{B}\cos^{2} \theta - \fbox{C}
\cos 2\theta=\fbox{D}-\fbox{E}\sin^{2} \theta

が導ける.上記より,sinθ=\frac{1}{3}のとき,cos2θ=\frac{\fbox{F}}{\fbox{G}}である.(空欄A~Gにそれぞれ1から9までの1桁の数字をうめてください)

三角関数の加法定理

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まず,加法定理を覚えていない人は,復習しましょう。sin75°の練習問題などもやってみてくださいね。

  • sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ ・・・①
  • sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ ・・・②
  • cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ ・・・③
  • cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ ・・・④

解説・解法・答え

「で,加法定理を使ってどうやって2θを出すの?」と思った方。上の①式に,α=θ,β=θを代入してあげてください。

sin(θ+θ)=sinθcosθ+cosθsinθ

左辺のカッコの中はθ+θで2θになりますし,sinθcosθとcosθsinθは同じモノですので

\sin 2\theta=\fbox{2}\sin \theta \cos \theta・・・[A]

となります。では同じように,③式に,α=θ,β=θを代入してみると・・・

cos(θ+θ)=cosθcosθ-sinθsinθ
cos2θ=cos2θ-sin2θ・・・⑤

 という式が得られます。ただ,解答欄の[B],[C]はcosだけの式になっていますし,[D],[E]はsinだけの式になっています。どうするか・・。そこで思い出しましょう。

sin2θ+cos2θ=1・・・⑥

でしたね。sinθ,cosθそれぞれの2乗の和は1になります。⑥のcos2θを右辺に移項して,sin2θ=1-cos2θですので,これを⑤の式に入れてあげると

cos2θ=cos2θ-(1-cos2θ)
\cos 2\theta=\fbox{2}\cos^{2} \theta - \fbox{1}・・・[B],[C]

となります。同様に,⑥式から,sin2θを右辺に移項してあげれば,cos2θ=1-sin2θです。これを⑤に代入して

cos2θ=(1-sin2θ)-sin2θ
\cos 2\theta=\fbox{1}-\fbox{2}\sin^{2} \theta・・・[D],[E]

で,この式に,sinθ=\frac{1}{3}を代入すれば

\cos 2\theta=1-2\sin^{2} \theta
\cos 2\theta=1-2\cdot (\frac{1}{3})^{2}
\cos 2\theta=1-2\cdot \frac{1}{9}
\cos 2\theta=1-\frac{2}{9}
\cos 2\theta=\frac{\fbox{7}}{\fbox{9}}・・・[F],[G]

2倍角の公式

[A]~[E]を「2倍角の公式」と言います。結構重宝しますので,ここでおさらいしておきましょう。

  • sin2θ=sinθcosθ+cosθsinθ
  • cos2θ=cos2θ-sin2θ=2cos2θ-1=1-2sin2θ

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