数学 高校

sinθ+cosθの値からsin3乗+cos3乗の値を求める(数学2・三角関数)

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例題

\sin\theta+\cos\theta=\frac{3}{5}のとき,

\sin\theta\cos\theta=-\frac{\fbox{A}}{\fbox{BC}}\sin^{3}\theta\cos^{3}\theta=\frac{\fbox{DE}}{\fbox{FGH}}

である.(A~Hの空欄1つにつき,1~9または0の数字を1つずつうめてください。B,Cなどのように連続した空欄には,2桁の自然数が入ります)

解説・解法・答案例

sinθ+cosθの値からsinθcosθの値を求める」の項目で,sinθ+cosθの値が与えられたとき,sinθcosθの値の計算方法を学びました。今回も同じように,まずは\sin\theta+\cos\theta=\frac{3}{5}の両辺を2乗し,sin2θ+cos2θ=1から,sinθcosθを計算しましょう。

(\sin\theta+\cos\theta)^{2}=(\frac{3}{5})^{2}
\sin^{2}\theta+2\sin\theta\cos\theta+\cos^{2}\theta=\frac{9}{25}
1+2\sin\theta\cos\theta=\frac{9}{25}
2\sin\theta\cos\theta=-\frac{16}{25}
\sin\theta\cos\theta=-\frac{\fbox{8}}{\fbox{25}}・・・[A]~[C]

となるところまでは前回のおさらいでした。今回はそこから,sin3θ+cos3θを求めていきます。そういえば,(3乗)+(3乗)の形って因数分解できませんでしたっけ?

a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)

この形。数学1の因数分解の項目でやりましたよね。この式のaにsinθ,bにcosθを代入していけばそれでOKでしょう。

sin3θ+cos3θ
=(sinθ+cosθ)(sin2θ-sinθcosθ+cos2θ)
=(sinθ+cosθ)(1-sinθcosθ)

sin2θ+cos2θ=1から,ここまで出れば,あとはsinθ+cosθの値は問題にあり,sinθcosθは先程出しましたので,その値を使います。

sin3θ+cos3θ
=(sinθ+cosθ)(1-sinθcosθ)
=(\frac{3}{5})\left\{1-(-\frac{8}{25})\right\}
=\frac{3}{5}\cdot\frac{33}{25}
=\frac{\fbox{99}}{\fbox{125}}・・・[D]~[H]

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まとめ:3乗の因数分解公式

  • a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)
  • sin3θ+cos3θ=(sinθ+cosθ)(1-sinθcosθ)

「1-sinθcosθ」に出てくる「sinθcosθ」はsinの2倍角絡みを匂わせてる場合もあります。sin2θ=2sinθcosθ。問題を思いついたらまた付記していきます。

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