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sinθの3倍角の公式 三角関数(数学2)

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例題

三角関数の加法定理より,sin3θはsinθを用いて

\sin3\theta=-\fbox{A}\sin^{\scriptsize{\fbox{B}}}\theta+\fbox{C}\sin\theta

と表せる。また,\sin\theta=\frac{2}{3}のとき,\sin3\theta=\frac{\fbox{DE}}{\fbox{FG}} である。(空欄[A]~[G]1つにつき,1~9,または0の数字をうめてください。また,[DE]のように連続した2つの空欄には2桁の自然数が入ります)

解説・解法

三角関数の加法定理」と「2倍角の公式」を用いて,sin3θの値を求めます。「加法定理」より

  • sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ・・・①

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また,「2倍角の公式」より

  • sin2θ=2sinθcosθ・・・②

これらを使っていきましょう。①の式に,α=2θ,β=2θを代入すると

sin(2θ+θ)=sin2θcosθ+cos2θsinθ
sin3θ=sin2θcosθ+cos2θsinθ

この式が得られますので,sin2θのところに③を,cos2θのところに④を代入していきます。

sin3θ=2sinθcosθ・cosθ + (cos2θ-sin2θ)sinθ
=2sinθcos2θ + (cos2θ-sin2θ)sinθ

ここで,sin2θ+cos2θ=1より,

cos2θ=1-sin2θ・・・③

ですので,③を上記の式に入れます。

sin3θ=2sinθ(1-sin2θ) + ({1-sin2θ)-sin2θ}sinθ
=2sinθ-2sin3θ + (1-2sin2θ)sinθ
=2sinθ-2sin3θ + sinθ-2sin3θ
=-\fbox{4}\sin^{\scriptsize{\fbox{3}}}\theta+\fbox{3}\sin\theta・・・[A]~[C]

これを「3倍角の公式」と言います。

続いて,\sin\theta=\frac{2}{3}を3倍角の公式に代入してあげると

sin3θ
=-4sin3θ+3sinθ
=-4\cdot(\frac{2}{3})^{3}+3\cdot(\frac{2}{3})
=-\frac{32}{27}+2
=\frac{\fbox{22}}{\fbox{27}}・・・[D]~[G]

まとめ:3倍角の公式(sin3θ)

  • sin3θ=-4sin3θ+3sinθ (符号を入れ替えると3sinθ-4sin3θ)







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