中学 数学

2015の素因数分解

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例題

2015を素因数分解しなさい。

「年号」の問題

年号に関連した問題は,高校入試でも,大学入試でもちらほら見かけます。

たとえば,規則性の問題で,1番目→2番目→3番目・・の間である数を行ったり来たりするときに2015番目はどうなるか?とか。あるいは,大学入試になると,数列の一般項を出させる代わりに,2015番目の項(あるいは初項から第2015項目までの和)を出させるとか,常用対数を使い,2の2015乗の桁数を求めさせるとかはザラにあります。

解説・解法・答案例

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来年の「2015」を素因数分解してみるとどうなるか?という問題です。まず,一の位が5なので,5で割れますね。5で割ってみましょう。

2015=5×403・・・①

となりますので,403をどうにかして素因数分解できないか,と考えます。3の倍数ならば,それぞれの位を足して3の倍数になれば良い(3の倍数の見分け方を参照下さい)のですが,4+0+3=7となり,3の倍数にもなりません。どうしたものか。と考えたとき,乗法公式(2乗どうしの差の公式)が使えることがあります。

a2-b2=(a+b)(a-b)

これです。 なかなか根性が必要になるのですが,たとえば91を素因数分解しろと言われたら・・・

91
=100-9
=102-32
=(10+3)(10-3)
=13×7

という風に考えることができます。403にこの考えを応用していきましょう。a,bを自然数として(a>b),403=a2-b2の形で表せるとしたら,まず,20を2乗すると400になるので,おそらくaは21以上の数ではないかという見当をつけていきます。

a=21とすると,

403=212-b2
403=441-b2
b2=38

となり,2乗して38になる自然数bはなさそうですので,この場合はなし,ということになりますね。

a=22とすると,

403=222-b2
403=484-b2
b2=81

お,きました。2乗して81になるbは,b=9ですね。つまり・・

403=222-92
403=(22+9)(22-9)
403=31×13

31も13も素数ですので,これ以上素因数分解することはできません。ということで,これを①に戻すと

2015=5×13×31

が素因数分解した結果になります。

(答え)5×13×31







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