数学 高校

tan(正接)の加法定理(tan105°の値を求める)

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例題

正接(タンジェント)の加法定理を利用すると,

tan105°=tan(60°+45°)=-\sqrt{\fbox{A}}-\fbox{B}

である。(空欄A,Bにはそれぞれ1から9までの1桁の数字を入れてください)

正接(tan)の加法定理

sin(正弦),cos(余弦)の加法定理(咲いた~コスモス)を頑張って覚えたところで,tan(正接)tanの加法定理も覚えましょう。

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\tan(\alpha+\beta)=\frac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta}・・・①
\tan(\alpha-\beta)=\frac{\tan\alpha-\tan\beta}{1+\tan\alpha\tan\beta}・・・②

適当なゴロがないので「いちマイナスタンタンぶんのタンプラスタン!」と気合いで覚えたような気がします。

解説・解法

誘導に乗っかり,①の式に代入してあげましょう。①式を使って

tan105°=tan(60°+45°)
=\frac{\tan 60^{\circ}+\tan 45^{\circ}}{1-\tan 60^{\circ}\tan 45^{\circ}}
=\frac{\sqrt{3}+1}{1-\sqrt{3}\cdot 1}
=\frac{\sqrt{3}+1}{1-\sqrt{3}}

出たことは出ました。が,解答欄の形に合いませんね。そこで「分母の有理化」を思い出しましょう。分母のルートを取り除くために,分子・分母にそれぞれ=\frac{1+\sqrt{3}}{1+\sqrt{3}}をかけてあげると・・・(続き)

=\frac{\sqrt{3}+1}{1-\sqrt{3}} \cdot \frac{1+\sqrt{3}}{1+\sqrt{3}}
=\frac{(\sqrt{3}+1)^{2}}{1^{2}-(\sqrt{3})^{2}}
=\frac{1+2\sqrt{3}+3}{1-3}
=-\frac{4+2\sqrt{3}}{2}
=-\sqrt{\fbox{3}}-\fbox{2}・・・[A],[B]

答え

A:3 B:2

補足

tanの加法定理になると,分母にルートが絡んだ数が多くなります。ということは分母の有理化をサクサクっと出来ないと,なかなか手こずるような気がします。忘れていた方,もう一度数1に戻ってチェックをしておきましょう。







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