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余弦定理の基本

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例題

AB=2,AC=3,∠A=60°の△ABCに余弦定理を適用すると,

BC=\sqrt{\fbox{(1)}}

である。(空欄(1)を1~9の1桁の整数でうめてください。)

余弦定理

 

sankaku図のような△ABCで,BC=a,CA=b,AB=cとすると,以下が成り立ちます。(BC=aのように,大文字の頂点と向かい合っている辺を小文字に置き換えることはザラにありますので覚えておきましょう)

  • a2=b2+c2-2abcosA
  • b2=c2+a2-2abcosB
  • c2=a2+b2-2abcosC

これを余弦定理と言います。1つの角(のcos)と,その角を挟む辺の長さが分かっていれば,非常に役立ちます。

解説・解法

BC=aとおくと,AB=2,AC=3,∠A=60°から\cos A=\frac{1}{2},余弦定理を適用すると

a^{2}=2^{2}+3^{2}-2\cdot2\cdot3\cdot\frac{1}{2}
a2 = 4 + 9 -6
a2 = 7
a=\pm\sqrt{7}

a>0より,a=\sqrt{\fbox{7}}・・・(1)

答え

(1) 7

余弦定理はセンター試験の頭でよく聞かれる

2014年までの傾向ですが,センター試験の三角比の問題の最初には,ほとんど必ずと言っていいほど余弦定理を使った問題が出てきます(例外もありますが)。パッと調べたところ

  • 2014年数学1A第3問[ア] 3点
  • 2012年数学1A第3問[ア][イ] 3点
  • 2011年数学1A第3問[ア]~[ク] 11点
  • 2009年数学1A第3問[ア]~[ウ] 3点

など。取っ付きの問題だけでこれで,途中にもう一度余弦定理を使って解く問題もあり,それを含めるとかなり点数を稼げます(というよりは使わないと辺の長さが解らず誘導に乗れません)。特に2011年は余弦定理のオンパレードで,計算がスムーズに進めばサクッと得点出来たでしょう。三角比を習う上で切っても切り離せないものですね。







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