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cosの3倍角の公式 三角関数(数学2)

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例題

三角関数の加法定理を用いると,cos3θはcosθを用いて,

\cos3\theta=\fbox{A}\cos^{\scriptsize{\fbox{B}}}\theta-\fbox{C}\cos\theta

と表せる。

また,\cos\theta=\frac{1}{3}のとき,

\cos3\theta=-\frac{\fbox{DE}}{\fbox{FG}}

である。(A~Gにあてはまる適切な1桁の整数をうめてください。空欄DEのように連続した箇所には2桁の整数が入ります)

解説・解法

sinの3倍角の公式と同じように,「加法定理」と「2倍角の公式」を使って,cos3θをcosθの式で表していきます。加法定理より

  • cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ・・・①

2倍角の公式より

  • cos2θ=cos2θ-sin2θ=2cos2θ-1・・・②
  • sin2θ=2sinθcosθ・・・③

α=2θ,β=θとおいて,①の式に代入します。

cos3θ=cos(2θ+θ)
=cos2θcosθ - sin2θsinθ
=(2cos2θ-1)cosθ - (2sinθcosθ)sinθ  (②,③より)
=(2cos3θ-cosθ) - 2sin2θcosθ
=2cos3θ-cosθ - 2(1-cos2θ)cosθ  (sin2θ+cos2θ=1よりsin2θ=1-cos2θ)
=2cos3θ-cosθ - 2cosθ + 2cos3θ
=4cos3θ-3sinθ・・・[A]~[C]

この式に\cos\theta=\frac{1}{3}を代入して,[D]~[G]を計算します。

\cos 3\theta = 4\cos^{3} \theta-3\cos\theta
= 4\cdot (\frac{1}{3})^{3}-3\cdot\frac{1}{3}
= \frac{4}{27}-1
= -\frac{\fbox{23}}{\fbox{27}}・・・[D]~[G]

答え

A:4 B:3 C:3 D:2 E:3 F:2 G:7

まとめ:cosの3倍角の公式

  • cos3θ=4cos3θ-3cosθ







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