cosの3倍角の公式 三角関数(数学2)

例題

三角関数の加法定理を用いると，cos3θはcosθを用いて，

と表せる。

また，のとき，

である。(A～Gにあてはまる適切な1桁の整数をうめてください。空欄DEのように連続した箇所には2桁の整数が入ります)

解説・解法

sinの3倍角の公式と同じように，「加法定理」と「2倍角の公式」を使って，cos3θをcosθの式で表していきます。加法定理より

• cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ・・・①

2倍角の公式より

• cos2θ=cos²θ-sin²θ=2cos²θ-1・・・②
• sin2θ=2sinθcosθ・・・③

α=2θ，β=θとおいて，①の式に代入します。

cos3θ=cos(2θ+θ)
=cos2θcosθ - sin2θsinθ
=(2cos²θ-1)cosθ - (2sinθcosθ)sinθ　　(②，③より)
=(2cos³θ-cosθ) - 2sin²θcosθ
=2cos³θ-cosθ - 2(1-cos²θ)cosθ　　(sin²θ+cos²θ=1よりsin²θ=1-cos²θ)
=2cos³θ-cosθ - 2cosθ + 2cos³θ
=4cos³θ-3sinθ・・・[A]～[C]

この式にを代入して，[D]～[G]を計算します。

・・・[D]～[G]

答え

A:4　B:3　C:3　D:2　E:3　F:2　G:7

まとめ：cosの3倍角の公式

• cos3θ=4cos³θ-3cosθ