スポンサードリンク
例題
三角関数の加法定理を用いると,cos3θはcosθを用いて,
と表せる。
また,のとき,
である。(A~Gにあてはまる適切な1桁の整数をうめてください。空欄DEのように連続した箇所には2桁の整数が入ります)
解説・解法
sinの3倍角の公式と同じように,「加法定理」と「2倍角の公式」を使って,cos3θをcosθの式で表していきます。加法定理より
- cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ・・・①
2倍角の公式より
- cos2θ=cos2θ-sin2θ=2cos2θ-1・・・②
- sin2θ=2sinθcosθ・・・③
α=2θ,β=θとおいて,①の式に代入します。
cos3θ=cos(2θ+θ)
=cos2θcosθ - sin2θsinθ
=(2cos2θ-1)cosθ - (2sinθcosθ)sinθ (②,③より)
=(2cos3θ-cosθ) - 2sin2θcosθ
=2cos3θ-cosθ - 2(1-cos2θ)cosθ (sin2θ+cos2θ=1よりsin2θ=1-cos2θ)
=2cos3θ-cosθ - 2cosθ + 2cos3θ
=4cos3θ-3sinθ・・・[A]~[C]
この式にを代入して,[D]~[G]を計算します。
・・・[D]~[G]
答え
A:4 B:3 C:3 D:2 E:3 F:2 G:7
まとめ:cosの3倍角の公式
- cos3θ=4cos3θ-3cosθ