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xの4乗+4 の因数分解(数学1)

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例題

x4+4=(x2+x+)(x2-x+)

と因数分解できる。(アからエまでの空欄にそれぞれ1から9までの1桁の整数をうめて,因数分解を完成させてください。)

解説・解法

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私が高校生の頃にこの問題を初めてみたときは,「おっ、なんかx2-y2とか使えば因数分解できるんじゃないの?」と一瞬考えたあと,x4+…と,プラスの部分を見返して「あーダメだこれ」と撃沈した覚えが。

後々因数分解のやり方を知って,「あーこれは覚えるしかないなぁ・・」と早々悟った覚えがあります。

ではどうやるか?ですが。

4乗がなんとなく気にかかるので,t=x2とでも置きましょうか。

x4+4
=t2+4
=(t2+□t+4) - □t

 という風に変形してあげてください。( )の中が2乗の形になるように,□を決めます。□=4になりますね。

(t2+4t+4) - 4t
(t+2)2 - 4t

ここで,t=x2を戻してあげましょう。

(x2+2)2 - 4x2
(x2+2)2 - (2x)2

すると,2乗-2乗の形の因数分解が出来そうですね。a=x2+2,b=2xとおくと,

a2 - b2
=(a + b)(a - b)
=(x2+2+2x)(x2+2-2x)
=(x22x+2)(x2-2x+2)  ・・・ア,イ,ウ,エ

流れのおさらい

(1)まず,x4+4を(x2)2+4の形にします。
(2)次に,(x2)2+4から無理やり平方の形を作るため,4x2を足します。足した分だけ引きます。(x2)2+4x2+4-4x2
(3)(x2)2+4x2+4を平方完成します。(x2+2)2 - 4x2
(4)4x2を(2x)2の形にし,(2乗)-(2乗)の因数分解ができるようにします。(x2+2)2 - (2x)2
(5)あとは2乗-2乗の形で因数分解しましょう。(x2+2+2x)(x2+2-2x)

ちょっと厄介だったでしょうか。慣れるまで繰り返してみてください。

解答

  • ア・・・2
  • イ・・・2
  • ウ・・・2
  • エ・・・2

というわけで全部2でした。高校の因数分解で少し慣れにくいところだったかもしれませんね。

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