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2015年東京大学数学(文科)第1問の考え方(A)

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これまで「命題が真なら証明し、偽なら反例を・・・」という問題は京都大学では何度か出てきたことがありますが、東大では初出なんじゃないかな?と思います(間違ってたらすいません)

早速,第1問のAの問題を見てみましょう。不等式なので,(左辺)-(右辺)≧0が成り立てば真でしょうが,そうでなければ偽ということになるでしょう。

(左辺)-(右辺)がnの3次式となるので,3次関数として扱い,極値などを調べる方向で行くのが手っ取り早いのではないかな?と思います。

考え方

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(左辺)-(右辺)=\frac{n^{3}}{26}+100-n^{2}・・・①

より,f(x)=\frac{x^{3}}{26}-x^{2}+100とおくと,

f

となり,f(x)はx=0のとき極大値,x=\frac{52}{3}のとき極小値をとる。17<\frac{52}{3}<18より,①にn=17を代入すると,

\frac{17^{3}}{26}+100-17^{2}
=17^{2}(\frac{17}{26}-1)+100
=17^{2} \cdot (-\frac{9}{26})+100
=-\frac{2601}{26}+\frac{2600}{26}
=-\frac{1}{26} <0

となり,①が負になるため命題は偽となります。反例はn=17のとき。

ざっくりと解答の方針

  • 不等式を証明する要領で,左辺-右辺≧0としてみる。
  • xの関数と見立てて,微分などして増減を確かめてみる
  • 極値を取るxが出たら,そのxに近い整数nを代入してみて,それでも≧0(正)なら真だし,<0(負)だったら偽になる

こんな感じでしょうかね。微分絡みの不等式の証明はよく見かけるので,整数の問題として扱わずに,躊躇なく微分の形に持っていければ…答えに近づけたのではないかと思います。







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