中学 数学

平方根の大小比較

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例題

以下の3つの数の大小を,不等号を用いて表しなさい。

(1) \sqrt{2}\sqrt{3}\sqrt{5}
(2) -2,-\sqrt{3}-\sqrt{5}

解法・解説

たとえば1と2と3の大小は?と言われたとき,1よりも2の方が大きいし,2よりも3の方が大きいじゃん,当たり前じゃん!になって

1<2<3

と表せる・・・のは理解するのにそんなに時間もかからないでしょう。

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さらに,「平方根を求める」でも少しお話しましたが,

  • \sqrt{1}は2乗して1になる数,
  • \sqrt{2}は2乗して2になる数,
  • \sqrt{3}は2乗して3になる数。

すると,\sqrt{1}\sqrt{2}\sqrt{3}の大小を比較しろと言われたときは

\sqrt{1}\sqrt{2}\sqrt{3}

となるのです。ルートの中身が大きければ大きいほど,実際に大きい数になる,という考え。

となると,(1)の答えは

\sqrt{2}\sqrt{3}\sqrt{5}

となりますね。

(2)は,「整数と,根号の中にある数の大小を比較しろ」という問題です。少し頭をひねりましょう。

-\sqrt{3}-\sqrt{5}の大小関係は,(1)で考えたものと似ていますが,マイナスが掛かっているので,-\sqrt{5}の方が小さく,-\sqrt{3}の方が大きいことに注意して下さい。

さて,-2の扱い。2を無理やりルートの中に押し込んでしまいます。

「ルートの中を2乗したら,ルートが取れる」

この考えから,

「無理矢理ルートを付けるには,2乗した形でルートをかぶせる」

ということを試してみましょう。

2=\sqrt{2^{2}}=\sqrt{4}

となります。こうなれば,問題の言っていることは

-\sqrt{4}-\sqrt{3}-\sqrt{5}の大小を比較しろ」

ということにすり替わってきますので,-\sqrt{5}-\sqrt{4}-\sqrt{3}ということになり,答えは-\sqrt{5}<-2<-\sqrt{3}となります。

答え

(1) \sqrt{2}\sqrt{3}\sqrt{5}
(2) -\sqrt{5}<-2<-\sqrt{3}







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