数学 高校

置き換えによる因数分解(数学Ⅰ)

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例題

(1) (x2+2x)2-5(x2+2x)-24を因数分解すると,(x-)(x+)(x+)(x+)となる.
(ただし,
(2) x4-5x2+4 を因数分解すると,(x-)(x-)(x+)(x+)となる.
(ただし,)

(空欄ア~エに1から9までの1桁の整数を入れて,因数分解を完成させてください)

解説・解法

(1)「因数分解するときに,必要に応じて展開する」も一理あるのですが,この場合展開するとメチャメチャなことが起こる予感もします。因数分解する前の式の,x2+2xがひとつの固まりを作っており,存在が何やら怪しいです。因数分解で怪しいものを発見したときは別の文字に置き換えてみましょう。x2+2x=aとおくと

(x2+2x)2-5(x2+2x)-24
=a2-5a-24
=(a-8)(a+3)

と,中3の知識を使ってaで因数分解できました。あとはaを戻してあげましょう。今回は少し丁寧に,それぞれについて因数分解してみます。

a-8=x2+2x-8=(x+4)(x-2)

a+3=x2+2x+3=(x+2)(x+1)

となりますので,これらより

(a-8)(a+3)
=(x+4)(x-2)(x+2)(x+1)
=(x-1)(x+1)(x+2)(x+4) ・・・ア,イ,ウ,エ

 (2)この式がx2-5x+4だったら分かるのになあ・・・中3の因数分解で済むのになあ・・足して-5で掛けて4だから,(x-4)(x-1)なんだけどなあ・・・ということを少し応用してみましょう。X=x2とおくと,

x4-5x2+4
=X2-5X+4
=(X-1)(X-4)

ここでXをx2に戻しましょう。すると,これも中3で習った,(2乗)-(2乗)の因数分解の公式を使ってさらに因数分解できます。

(X-1)(X-4)
=(x2-1)(x2-4)
=(x+1)(x-1)(x+2)(x-2)
=(x-1)(x-2)(x+1)(x+2) ・・・オ,カ,キ,ク

となります。

まとめ

「置き換え」を上手いこと使えば,既存の公式を使って,因数分解が可能な場合がありますよ。

答え

(1)ア:1 イ:1 ウ:2 エ:4
(2)オ:1 カ:2 キ:1 ク:2







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