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2桁の掛け算(2乗-2乗)

公開日: : 中学, 数学

例題

次の(1)~(5)をくふうして計算しなさい。

(1) 51 × 49
(2) 42 × 58
(3) 104 × 96
(4) 123 × 117
(5) 165 × 135

乗法公式を利用する

2乗の計算術」でも取り上げましたが,2桁以上×2桁以上の計算をする際には,展開・因数分解の際に習った「乗法公式」が役に立つ場合があります。今回は,この乗法公式を使用してみましょう。

*(a+b)(a-b)=a2-b2

これを例題のどこに利用していくの?と思うかもしれませんが,習うより慣れ。実践しながら覚えていきましょう。

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解説・解法

(1) 51 × 49と*の式[(a+b)(a-b)=a2-b2]に何の関係があるんだ・・・と思うかもしれませんが,「2乗の計算術」のときのように,aにキリの良い数字,bに端数のようなものが入らないか考えてみます。たとえばこの場合だったら,*の式に,a=50を,b=1を代入してみると・・・

51 × 49
=(50+1)(50-1)
=502-12
=2500-1
=2499

という風に計算できてしまうのです。

(2) 42 × 58はどうでしょうか。*の式に入れるなら,同じようにa=50を,b=8を代入すれば片付くはず。途中,(50-8)(50+8)と出てきますが,(50-8)(50+8)=(50+8)(50-8)と,掛け算は順番を並び替えてもOKですので,そのまま計算していきましょう。

42 × 58
=(50-8)(50+8)
=502-82
=2500-64
=2436

(3) 3桁であってもやることは変わりません。*の式に入るa,bの数値はないか?を考えて,aとbに適当な数値を代入します。今回の場合はa=100,b=4でしょうね。

104 × 96
=(100+4)(100-4)
=1002-42
=10000-16
=9984

(4) (3)と同じようにすれば良いのですが(*の式にa=120,b=4を代入),120の2乗が暗算で分かっていればOKです・・。

123 × 117
=(120+3)(120-3)
=1202-32
=14400-9
=14391

もし120の2乗(12の2乗)が暗算出来なかったら…のために,一応,「2乗の計算術」に習って計算しきましょう。

(120)2
=(100+20)2
=1002+2×100+20+202
=10000+4000+400
=14400

ということになります。

(5)2通りの解き方で説明します。まず,王道の解き方。*の式にa=150,b=15を代入します。

165 × 135
=(150+15)(150-15)
=1502-152
=22500-225
=22275

2つ目。さっきの計算で15に気づけば,15でくくって一旦因数分解しましょう。

165 × 135
=15×11×15×9
=152×11×9
=225×(10+1)(10-1)
=225(102-12)
=22500-225
=22275

後者の方が途中計算が多かったように思えますが,慣れてしまえば暗算で出来る箇所も多いのでは,と思います。

答え

(1) 2499
(2) 2436
(3) 9984
(4) 14391
(5) 22275

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