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2重根号のはずし方

公開日: : 最終更新日:2015/04/03 数学, 高校

例題

\sqrt{5+2\sqrt{6}}の二重根号を外すと

\sqrt{\fbox{A}}+\sqrt{\fbox{B}}

となる。同様に,

\sqrt{4-2\sqrt{3}}=\sqrt{\fbox{C}}-\fbox{D}

である。

(空欄A~Dには1桁の整数をそれぞれ入れて,計算を完成させてください。ただし,A<Bとします)

二重根号とは?

ルートの中に入っているルートを「二重根号」と呼びます。二重根号を外す問題は定期テスト他,入試でもそこそこ出題頻度はありますので,一応押さえておくと良いでしょう。

二重根号の外し方

(a+b)2=a2+2ab+b2乗法公式で,aの代わりにルートa,bの代わりにルートbと置き,この計算をルートの中で行います。

\sqrt{a}+\sqrt{b}
=\sqrt{(\sqrt{a}+\sqrt{b})^{2}}
=\sqrt{(\sqrt{a})^{2}+(\sqrt{b})^{2}+2\sqrt{ab}}
=\sqrt{a+b+2\sqrt{ab}}・・・①

こうしたときに,aとbに入る数を調整してあげることで,二重根号が外れることがあります。

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解説・解法

(A)~(B) ①の式で,

\sqrt{5+2\sqrt{6}}=\sqrt{a+b+2\sqrt{ab}}

としたときに,a+b=5,ab=6となる数の組み合わせを見つけます。足して5,掛けて6になる数の組み合わせは,2と3なので,

\sqrt{5+2\sqrt{6}}=\sqrt{2+3+2\sqrt{6}}=\sqrt{\fbox{2}}+\sqrt{\fbox{3}}・・・[A].[B]

(C)~(D) ①の式で,\sqrt{b}-\sqrt{b}に置き直すと,

\sqrt{a+b-2\sqrt{ab}}
=\sqrt{(\sqrt{a}-\sqrt{b})^{2}}
=|\sqrt{a}-\sqrt{b}|・・・②

が得られます。この式で,a+b=4,ab=3になるように数の組み合わせを見つけると,a=1,b=3が該当しそうです。

\sqrt{4-2\sqrt{3}}
=\sqrt{1+3-2\sqrt{3}}
=|1-\sqrt{3}|
=\sqrt{\fbox{3}}-\fbox{1}・・・[C],[D]

絶対値記号の中身がマイナスなので,中身にマイナスをかけた値が答えとなります。「絶対値記号の外し方」も参照してください。

答え

A:2 B:3 C:3 D:1

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