数学 高校

二重根号の外し方(2ルートabが出てこない形)

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例題

\sqrt{4+\sqrt{15}}の二重根号を外すと,

\frac{\sqrt{\fbox{AB}}+\sqrt{\fbox{C}}}{\fbox{D}}である。

(AからDまでの空欄をそれぞれ1桁の整数でうめてください。ABのように,連続した空欄には2桁の整数が入ります)

解説・解法

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過去の「二重根号の外し方」の記事で取り上げた方法では

\sqrt{a}+\sqrt{b}=\sqrt{a+b+2\sqrt{ab}}

と,ルートの中に2\sqrt{ab}がある形でないと,戻せませんでした。今回は2\sqrt{ab}を「作る」ことから始めましょう。ルート内に1=\frac{2}{2}をかけ,元の式を変形していきます。

\sqrt{4+\sqrt{15}}
\sqrt{\frac{8+2\sqrt{15}}{2}}・・・①

①の分子について

\sqrt{8+2\sqrt{15}}
=\sqrt{5}+\sqrt{3}

したがって,

\sqrt{\frac{8+2\sqrt{15}}{2}}
=\frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{\sqrt{2}}
=\frac{\sqrt{\fbox{10}}+\sqrt{\fbox{6}}}{\fbox{2}}・・・[A]~[D]

最後は中学3年の分母の有理化が出てきます。分からない方は復習しましょう。ちなみに

\frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{\sqrt{2}}
\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}}+\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}
\frac{\sqrt{10}}{2}+\frac{\sqrt{6}}{2}

のように計算します。

答え

AB:10  C:6  D:2

 







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