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x+1/x → xの2乗+(1/x)の2乗の値の求め方 (数学Ⅰ)

公開日: : 数学, 高校

例題

x>1とする.x+\frac{1}{x}=2\sqrt{5}のとき,

x^{2}+\frac{1}{x^{2}}=\fbox{AB}
x-\frac{1}{x}=\fbox{C}

である。

(空欄A~Cをそれぞれ1桁の整数でうめてください。空欄ABには2桁の整数が入ります)

解説・解法

x+\frac{1}{x}の値が分かっており,そこからx^{2}+\frac{1}{x^{2}}の値を求めるときは両辺にxを掛けて,2次方程式を解いてもも良いのですが,解として出てきたものは無理数で,その逆数を計算・・・となると分母の有理化が必要になってくる・・・と考えるとちょっとややこしいので,こういうときは両辺を2乗しちゃいましょう。

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x+\frac{1}{x}=2\sqrt{5}の両辺を2乗すると

x^{2}+2\cdot x\cdot\frac{1}{x}+\frac{1}{x^{2}}=(2\sqrt{5})^{2}
x^{2}+2+\frac{1}{x^{2}}=20
x^{2}+\frac{1}{x^{2}}=\fbox{18}・・・[AB]

という風に,両辺2乗した際にx\cdot\frac{1}{x}の計算をしましたが,逆数同士をかけ合わせるので,結果は定数になり,それを右辺に移項すれば完成です。

x-\frac{1}{x}の値ですが,これも2乗します。

(x-\frac{1}{x})^{2}
=x^{2}-2\cdot x \cdot \frac{1}{x}+\frac{1}{x^{2}}
=x^{2}-2+\frac{1}{x^{2}}
=x^{2}+\frac{1}{x^{2}}-2
=18-2
=16

したがって

(x-\frac{1}{x})^{2}=16

両辺の平方根を取って

x-\frac{1}{x}=\pm 4

x>1より,x-\frac{1}{x}>0.したがって,

x-\frac{1}{x}=\fbox{4}・・・[C]

答え

AB:18  C:4

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