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整数部分と小数部分(数学Ⅰ)

公開日: : 数学, 高校 , ,

例題

a=\frac{1}{\sqrt{5}-2}とする.aの整数部分をb,小数部分をcとするとき,

b=\fbox{A}
c=\sqrt{\fbox{B}}-\fbox{C}
ac=\fbox{D}

である.

(空欄Aから空欄Dまでを1桁の整数でうめて計算を完成してください)

整数部分と小数部分

「整数部分」「小数部分」って一体何?と思われた方,一旦中3数学の「ルートの整数部分と小数部分」に戻ってざっくりと理解をお願い致します。

さて,高校数学でよく出てくるのは「分母の有理化」と絡んだ整数部分・小数部分の問題です。例題で早速見ていきましょう。

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解説・解法

まずaは分母を有理化してあげましょう。

a=\frac{1}{\sqrt{5}-2}
=\frac{1}{\sqrt{5}-2}\cdot \frac{\sqrt{5}+2}{\sqrt{5}+2}
=\frac{\sqrt{5}+2}{(\sqrt{5})^{2}-2^{2}}
=\sqrt{5}+2

4<5<9より正の平方根を取って(*),

2<\sqrt{5}<3

それぞれ2を足して

4<\sqrt{5}+2<5

(a=4.○□△…になるので)

b=\fbox{4}・・・[A]

cはaの小数部分なので,c=a-(aの整数部分)=a-b

c=\sqrt{5}+2-4=\sqrt{\fbox{5}}-{\fbox{2}}・・・[B],[C]

ac=(\sqrt{5}+2)(\sqrt{5}-2)=5-4=\fbox{1}・・・[D]

答え

A:4  B,C:5,2  D:1

別解

(*)の部分は,「平方根の近似値」のやり方で(あるいは暗記で),\sqrt{5}≒2.236と分かっていれば,

\sqrt{5}+2≒4.236

となり,整数部分が4だということが分かります。マークシート式の試験の際などには使えるのではないかと思います。

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