中学 数学

「十の位が等しく一の位の和が10」(十等一和)の数の計算

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例題

次の(1)~(4)の計算をしなさい。

(1)63×67
(2)48×42
(3)74×76
(4)652

十の位が等しく一の位の和が10

小学校の計算ドリルで出る、普通の計算問題なのですが・・・少し工夫すれば暗算で出来ます。まず,今回の問題は,①十の位が同じだということに気づきますね((4)も,65×65となるので同じですね)。さらに,②かけられる側とかける側一の位の和は10になりますね。

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これを,文字を使った式で表しましょう。

①かけられる側,かける側の十の位は同じなので,同じ文字をおくことができます。十の位をaとおき,かけられる側の一の位をb,かける側の一の位をcとおくと,以下の式になり,展開に持ち込むことができます。

(10a+b)(10a+c)
=100a2+10ab+10ac+bc

 ②十の位が同じということから,b+c=10が言えます。展開した式をくくり出し,変形すると

100a2+10ab+10ac+bc
=100a2+10a(b+c)+bc
=100a2+10a×10+bc  (b+c=10より)
=100a2+100a+bc
=100a(a+1)+bc・・・(*)

こうすると,百の位以上と十の位以下はくっきりと分かれます。

  • 百の位以上・・・a(a+1)
  • 十の位以下・・・bc

bもcも一桁の数同士なので,bc(b×c)が百の位以上に繰り上がることはないですね。一見式の形や考え方が小難しそうに見えますが,慣れてしまうと楽に計算できます。

解説・解法

(1)~(4),それぞれa,b,cに数を代入していきましょう。

(1)63×67・・・(*)の式にa=6,b=3,c=7を代入して

  • 百の位以上:a(a+1)=6(6+1)=6×7=42
  • 十の位以下:b×c=3×7=21

したがって,63×67=4221

(2)48×42・・・(*)の式にa=4,b=8,c=2を代入して

  • 百の位以上:a(a+1)=4(4+1)=4×5=20
  • 十の位以下:b×c=8×2=16

したがって,48×42=2016

(3)74×76・・・(*)の式にa=7,b=4,c=6を代入して

  • 百の位以上:a(a+1)=7(7+1)=7×8=56
  • 十の位以下:b×c=4×6=24

したがって,74×76=5624

(4)652=65×65とした上で,(*)の式にa=6,b=5,c=5を代入して

  • 百の位以上:a(a+1)=6(6+1)=6×7=42
  • 十の位以下:b×c=5×5=25

したがって,652=4225

ちなみに,このことから,「下1桁が5」の数を2乗すると,必ず下2桁は25になります。

答え

(1)4221
(2)2016
(3)5624
(4)4225

 

 







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