中学 数学

連続する4つの整数とbc-adの値

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例題

連続する4つの整数を小さい方からa,b,c,dとする。

(1)bc-adの値はaの値に関わらず,□になることが予想される。□に当てはまる数を求めなさい(結果のみでよい)。
(2)bc-adが(1)で求めた数になることを証明しなさい。

解説・解法

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(1)分からない場合はa,b,c,dにそれぞれ具体的な数を代入してみましょう。aからdまで連続した整数なので,たとえばa=1とすれば,b=2,c=3,d=4となり,

bc=ad=2×3-1×4=6-4=2

また,a=2を代入した場合,b=3,c=4,d=5より,

bc-ad=3×4-2×5=12-10=2

となって,bc-adの値が一定の2であることが予想されます。

(2) (1)の結果より,bc-adが2であることを証明します。a,b,c,dが連続する整数であることをヒントにしましょう。

  • bはaより1大きい→b=a+1
  • cはbより1大きい→c=b+1=(a+1)+1=a+2
  • dはcより1大きい→d=c+1=(a+2)+1=a+3

これを使って,bc-adをaだけの式で表すことがポイントです。a以外の文字(b,c,d)でも良いですが,文字は1つにして証明しましょう。

bc-ad
= (a+1)(a+2)-a(a+3)
= a2+3a+2-(a2+3a)
= a2+3a+2-a2-3a
= 2

となるので,bc-adは(a,b,c,dに関わらず)2となります。

答案例

(1)

(答え) bc-ad=2

(2)b,c,dはaを用いて

b=a+1,c=a+2,d=a+3

と表せるので

bc-ad
= (a+1)(a+2)-a(a+3)
= a2+3a+2-(a2+3a)
= a2+3a+2-a2-3a
= 2

したがって,bc-adは,aの値にかかわらず2となる。(証明おわり)

入試出題例

公立高校の入試では,連続するいくつかの数について,その中の1つの数字(先頭の数字もそうですし,2番目,3番目の可能性もあります)を使って連続する数字の性質について説明させる問題が多々見受けられます。

「連続した○○個の数」と出てきたら,先頭の数(か,何番目かの数)を使って他の数を表せないか?という可能性を考えてみましょう。そうすれば答えが見えてくるかもしれません。







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