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2016年センター試験 数学1・A解説 第1問[1]1次関数

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2015年のセンター試験、数学Ⅰ・Aの第1問は2次関数だったので、2016年も引き続き2次関数が出るかなーと思いきや、最初は1次関数でした。何が出ても教科書の範囲内だと言い聞かせ、まず式の形を見て何するべきか、瞬間で判断します。

まず解答欄を見て「xについて整理するんだ(xのあるものとないものに分けるんだ)」と判断しましょう。

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f(x)=(1+2a)(1-x)+(2-a)x
=1+2a-(1+2a)x+(2-a)x
=(-3a+1)x+2a+1  ・・・ア,イ

そしてこのあたりで「やっぱ1次関数じゃん」と確信しつつ…

(1)0≦x≦1でのf(x)の最小値は?という問題。これ、中2の「1次関数の変域の求め方」を参考にすれば良いかと。

y=f(x)とおくと、①傾きがプラス(orゼロ)のときは,xが増えるほど,yはどんどん増えていく。なら、0≦x≦1で一番小さくなるのはx=0のとき。

-3a+1≧0
1≧3a
a \geqq \frac{1}{3}

このとき、x=0で最小値なので、最小値はf(0)=2a+1・・・ウ,エ

②傾きがマイナスのときは、xが増えるほど、yはどんどん下がってく。なら、0≦x≦1で一番小さくなるのはx=1のとき。傾きがマイナスなら

-3a+1<0
1<3a
a>\frac{1}{3}

このとき、x=1で最小値なので、最小値はf(1)=-3a+1+2a+1=-a+2・・・オ,カ

(2)問題文から、最小値≧\frac{2(a+2)}{3}ということを読み取って、あとは計算です。

①傾きがプラス(a≦\frac{1}{3})のとき・・・

2a+1≧\frac{2(a+2)}{3}
6a+3≧2a+4
4a≧1
a≧\frac{1}{4}

これとa≦\frac{1}{3}とを合わせて\frac{1}{4}≦a≦\frac{1}{3}

②傾きがマイナス(a>\frac{1}{3})のとき・・・

-a+2≧\frac{2(a+2)}{3}
-3a+6≧2a+4
-5a≧-2
a≦\frac{2}{5}

これとa>\frac{1}{3}とを合わせて\frac{1}{3}<a≦\frac{2}{5}

①,②をあわせて

\frac{\fbox{1}}{\fbox{4}} \leqq a \leqq \frac{\fbox{2}}{\fbox{5}}・・・キ~コ

という段取りで、例年の第1問の最初の問題よりも簡単だった?という印象です。

2016年センター試験解説







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