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2016年センター試験 数学1・A解説 第1問[2]集合と論理

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第1問の[1]で1次関数が出てきて「こんなのでいいのかなぁ、いつもより簡単かも・・・」と思わせといて、[2]はお決まりの「集合と論理」の問題。

(1)から見てみましょう。選択肢に

∈ ∋ ⊂ ⊃

この4つが出てきて、「えっ」となったんではないでしょうか。

「⊂と∈の違いが分からない・・・(・∈・)」

もしそうなっても、問題の(i)と(ii)を見比べてみると何かが違うことに気がつければ、それがヒントになるかもしれません。

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(1)の考え方(論理記号の使い方)

(i) A  サ  {0}
(ii) \sqrt{28}  シ  B

(i)の0には{ }(括弧)が付いてて、(ii)の\sqrt{28}には{ }がついていない。確か集合の書き方は{ }に書き並べていくんじゃなかったかな。だったら{0}は0って数が入った集合じゃないのかな。

だから、{0}はAに含まれる・・含まれるって記号が確か⊂と⊃だったよな、ってことは、サに入るのはは⊃か!・・・と推定できればおめでとうございます。

そうなると、なんとなくで、シは{}がついてないただの\sqrt{28}って数だから「⊂」「⊃」以外のモノで選んどけ・・∈か!

・・みたいな推測ができれば、もし万が一ど忘れしてもいけるんですが・・・いかがでしょうか。

ちなみに「∈」「∋」は「属する」記号で、要素(今回の場合は\sqrt{28}みたいな数)がその集合の中に、文字通り「属している」記号です。

(iii)のA={0}  ス  Aの中には「または(∪)」を入れればスッキリするでしょうし、
(iv)のΦ=A  セ  Bの中には「かつ(∩)」を入れれば、「有理数かつ無理数」で「空集合」になるでしょう。

(2)の考え方(必要条件・十分条件・必要十分条件)

p:xは無理数
q:x+\sqrt{28}は有理数
r:\sqrt{28}xは有理数

pはqであるための…と出てきたら,①p→q(十分条件)と②q→p(必要条件)のそれぞれを調べましょう。まず,①の十分条件から。

たとえば、pの「xが無理数」なら,具体的にx=\sqrt{2}などを入れてみて,qに当てはめてみます。

x+\sqrt{28}=\sqrt{2}+\sqrt{28}

これって無理数じゃないですか?てことで,p→qは違いそう。じゃあ逆にq→pのときどうでしょう。x+\sqrt{28}は有理数になるときといえばおそらく0になるときでしょう。つまりx=-\sqrt{28}

これって無理数ですので,q→pは成り立ちます。てことは、p←q(必要条件)はOKです。ということで、空欄 ソ には「必要条件だが十分条件でない」が入るでしょう。

rの条件を見てみましょう。「\sqrt{28}xは有理数」ということは、①「x=0」または②「x=\sqrt{7}p(pは有理数)」のどちらか。

①のとき、②のとき両方揃ってp→rが成り立てば「pはrであるための十分条件」,p←rが成り立てば「pはrであるための必要条件」・・・ということになりますが、

p→rを見てみると,xが有理数のとき、①(x=0)が成り立ちません。十分条件じゃあないですね。

p←rを見てみると,①「x=0」または②「x=\sqrt{7}p(pは有理数)」とのことですが、①のときはxが有理数になり、p←rも成り立たないということになるでしょう。

ということは、空欄 タ には「必要条件でも十分条件でもない」が入りますね。

まとめ

(2)は毎年のパターンなので(しかも例年よりも簡単?)サクッと解いておきたいのですが・・・

(1)は知識問題のような気もしますし、英語で言えば第2問の文法と同じで、「あまり悩まない、さっさと埋めて次に行く」が重要になってくるんじゃないでしょうかね。

2016年センター試験解説







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