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2016年センター試験 数学1・A解説 第1問[3]2次不等式

公開日: : 最終更新日:2016/02/19 入試分析, 数学, 高校 ,

2014年までは、センター数1Aの第1問は2つに分かれていました。2015年は2次関数の1つだけ。2016年は第1問が3つに分かれています・・・。細かくなった分だけ、スピーディーに頭の切り替えが必要になってきますね。

考え方と解説

さて、第1問の[3]ですが、どうも2次不等式ですね。問題をザーっと見ると、不等式①の解は・・・と書いてあるので、①の不等式をササッと解いていきましょう。

① x2+(20-a2)x-20a2≦0

とありますので、まずは左辺が因数分解できるかどうか試してみましょう。足して20-a2、かけて-20a2、なーんだ?になりますので、20と-a2になりますよね(ムムッ?分からん・・・と思った人はたすきがけしてみると良いかも)。

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ということで、①をこう変形しましょう。

① (x+20)(x-a2)≦0

というわけで、

-20≦x≦a2 ・・・チ~テ

になるでしょうね。aは1以上ですし、a2も確実に1以上になるでしょうから、大小関係もこれで良さそうです。

さらに問題を読み進めると、「不等式②の解は・・・」なので、②の不等式も解いておきましょう。このあたり結構サービス問題のような気もします。②より,

x2+4ax≧0
x(x+4a)≧0

仮に不等号が=だとしたら,x=0とx=-4a。0と-4aだと、-4aの方が小さいでしょうね。つまり,

x≦-4a0≦x ・・・ト~ニ

①,②がマイナスの部分で共通の解を持つとき,

-20≦-4a
4a≦20
a≦5

これとa≧1より,

1≦a≦5 ・・・ヌ

まとめ

基本さえしっかり押さえていれば、第1問の[3]はそれほど難しいとは思いません。ここだけでも配点は10点あるので、しっかりと満点を確保しておきたいところです。2016年は前年(2015)よりも平均点が低いということですが、第1問はむしろ易化したと考えても良いのではないでしょうか。

もちろん、全体的に問題量(ページ数)は多くなったことには変わりありませんが、落ち着いて、かついつもの(センター数学を解く)スピードで解いていけば全体としても高得点が狙えるのでは・・と思います。問題形式の変更は確かにネックにはなりますが。

2016年センター試験解説

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