*

2016年センター試験 数学1・A解説 第2問[1]三角比

公開日: : 最終更新日:2016/02/22 入試分析, 数学, 高校 ,

第1問をサクッと攻略したところで、第2問に入りましょう。第2問は[1]が三角比,[2][3]がデータの分析です。配点は[1]三角比が15点,[2][3]データの分析が15点。これだけ見ると、2015年と変わっていませんが、データの分析が小問2つに分かれているので、頭の素早い切り替えが必要でしょうね。

さて、[1]から。外接円Oの半径をRとして,△ABCに正弦定理を適用します。AB=cとすればc=7\sqrt{3},∠C=60°なので,

2R=\frac{c}{\sin C}
2R=\frac{7 \sqrt{3}}{\sin 60^\circ}
2R=\frac{7 \sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}
2R=7 \sqrt{3} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}}
2R=14
R= 7  ・・・ア

スポンサードリンク

(1)の考え方・解説

外接円O上に点Pをとると,円周角の定理より∠ACB=∠APB=60°なので,△APBに余弦定理を適用します。PA=xとすると,

2PA = 3PB
2x = 3PB
PB = \frac{2}{3}x

なので,余弦定理より

AB2=BP2+PA2-2BP・PA・cos60°
(7\sqrt{3})^{2}=(\frac{2}{3}x)^{2}+x^{2}-2 \cdot \frac{2}{3}x \cdot x \cdot \frac{1}{2}
49 \cdot 3=\frac{4}{9}x^{2}+x^{2}-\frac{2}{3}x^{2}
49 \cdot 3=\frac{4}{9}x^{2}+\frac{1}{3}x^{2}
49 \cdot 3=\frac{7}{9}x^{2}
x^{2}=49 \cdot 3 \cdot \frac{9}{7}
x^{2}=7 \cdot 3 \cdot 9
x=\fbox{3}\sqrt{\fbox{21}} ・・・イ~エ

(2)の考え方・解説

点Pは∠APB=60°を保ったまま,円周上を動きます。ABを底辺とすると,高さが一番高くなる所はどこでしょう,と考えると,ABの中点を通ってABに垂直な線と円Oが交わる点・・・垂直で中点というと,PA=PBの二等辺三角形となるときです。(中2でやりましたね)

したがって,PA=AB=\fbox{7}\sqrt{\fbox{3}}・・・オ,カ

(3)の考え方・解説

sin∠PBAの値が最大となる・・・といえば,∠PBA=90°のときでしょう。PA=xとして,正弦定理より(2R=14は出ていますので)

\frac{x}{\sin 90^\circ}=14
x =  14  ・・・キ,ク

あとは三角形の面積公式に入れても良いのですが,△PABは三角定規の三角形だと気づきましたか?(90°,60°,30°)すると,PB=(PAの半分=)7だと分かるので

△PAB=PA×PB÷2
7 \cdot 7\sqrt{3} \cdot \frac{1}{2}=\frac{\fbox{49}\sqrt{\fbox{3}}}{\fbox{2}}・・・ケ~シ

まとめ

2015年に続いて、比較的平易ですね。2014年までは第3問が「三角比と平面図形の両方」を聞いていたので、ちょっと難しい出題でしたが、平面図形は平面図形で2015年以降、単独の第6問に移動したので、この問題に関しては、計算さえしっかり出来ればなんとかなる気もします。

この傾向が続くと楽なことは楽なのですが、2017年もこうだとは限りません。難しめの問題でトレーニングを積んでおいても良いかも。そんなときは2014年以前の(数学1・数学A)第3問も解いてみてください。たまに手が止まったりします・・・。

2016年センター試験解説

関連記事

相似(平行・三角形と線分の比)

例題 図の三角形で,BC//DE,AB=6cm,AD=4cm,DE=6cm,AE=5cmのとき,次

記事を読む

関数y=ax2乗の変域の求め方

例題 関数y=2x2について,xの変域が以下の(1),(2)の場合であるとき,yの変域それぞれを求

記事を読む

2元1次方程式の整数解の問題(連立方程式の応用)

例題 2桁の自然数Aがあり,Aの十の位の数と一の位の数を入れ替えた数をBとする。A+B=121のと

記事を読む

数字

式の展開(置き換え)

例題 次の式を展開しなさい。 (1)(3x+2y)(3x-2y) (2)(5x-4y)2

記事を読む

さいころの目の和の確率(出た目の和が7になる確率)

例題 2個のさいころを同時に投げるとき,次の確率を求めなさい。 (1) 出た目の和が7になる

記事を読む

相似の証明(2つの正三角形と共通な角)

例題 下図で,△ABCと△ADEは正三角形であり,頂点Cは辺DE上にあるとします。このとき,△AB

記事を読む

2016年センター試験 英語解説 第3問A 会話文

2016年のセンター試験英語、第2問Cの分岐問題をどうにか解いたとこで、第3問Aは会話文です。201

記事を読む

1次関数(x,yの増加量と変化の割合)

例題 (1)1次関数 y=\frac{3}{2}x+2[/math]について,xの値が8増加したと

記事を読む

ルートの中が自然数の2乗になるn(分数編)

例題 nを自然数とする。\frac{\sqrt{450n}}{2}[/math]が自然数となるよう

記事を読む

センター試験英語攻略・2015年追試第6問(9) 問4の解説

問4は、パラグラフ(5)を読んで、下線部"myopia"の意味を推測する問題です。 「不可避な

記事を読む

Message

メールアドレスが公開されることはありません。 * が付いている欄は必須項目です

CAPTCHA


2017センター試験英語解説 第2問A(後半)【フェスでウェイ】

2017年のセンター試験英語、問2Aパートの解説です。前半の問1~問5

2017センター試験英語解説 第2問A(前半)

2017年のセンター試験英語、第2問の解説を。第2問のAパートは文法語

2017センター試験(本試)英語 超ざっくり解説

2017年のセンター試験、問題が出ました。ので、英語の解説を「超ざっく

2017年版 センター試験英語直前&本番アドバイス

センター試験(英語筆記)本番で焦らないために、と、直前に何かできるなら

2016年センター試験 英語解説 第3問C 要約 問1

センター英語・第3問Cの傾向 第3問Cは会話要約問題です。2013年

→もっと見る

PAGE TOP ↑