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2016年センター試験 数学1・A解説 第2問[1]三角比

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第1問をサクッと攻略したところで、第2問に入りましょう。第2問は[1]が三角比,[2][3]がデータの分析です。配点は[1]三角比が15点,[2][3]データの分析が15点。これだけ見ると、2015年と変わっていませんが、データの分析が小問2つに分かれているので、頭の素早い切り替えが必要でしょうね。

さて、[1]から。外接円Oの半径をRとして,△ABCに正弦定理を適用します。AB=cとすればc=7\sqrt{3},∠C=60°なので,

2R=\frac{c}{\sin C}
2R=\frac{7 \sqrt{3}}{\sin 60^\circ}
2R=\frac{7 \sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}
2R=7 \sqrt{3} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}}
2R=14
R= 7  ・・・ア

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(1)の考え方・解説

外接円O上に点Pをとると,円周角の定理より∠ACB=∠APB=60°なので,△APBに余弦定理を適用します。PA=xとすると,

2PA = 3PB
2x = 3PB
PB = \frac{2}{3}x

なので,余弦定理より

AB2=BP2+PA2-2BP・PA・cos60°
(7\sqrt{3})^{2}=(\frac{2}{3}x)^{2}+x^{2}-2 \cdot \frac{2}{3}x \cdot x \cdot \frac{1}{2}
49 \cdot 3=\frac{4}{9}x^{2}+x^{2}-\frac{2}{3}x^{2}
49 \cdot 3=\frac{4}{9}x^{2}+\frac{1}{3}x^{2}
49 \cdot 3=\frac{7}{9}x^{2}
x^{2}=49 \cdot 3 \cdot \frac{9}{7}
x^{2}=7 \cdot 3 \cdot 9
x=\fbox{3}\sqrt{\fbox{21}} ・・・イ~エ

(2)の考え方・解説

点Pは∠APB=60°を保ったまま,円周上を動きます。ABを底辺とすると,高さが一番高くなる所はどこでしょう,と考えると,ABの中点を通ってABに垂直な線と円Oが交わる点・・・垂直で中点というと,PA=PBの二等辺三角形となるときです。(中2でやりましたね)

したがって,PA=AB=\fbox{7}\sqrt{\fbox{3}}・・・オ,カ

(3)の考え方・解説

sin∠PBAの値が最大となる・・・といえば,∠PBA=90°のときでしょう。PA=xとして,正弦定理より(2R=14は出ていますので)

\frac{x}{\sin 90^\circ}=14
x =  14  ・・・キ,ク

あとは三角形の面積公式に入れても良いのですが,△PABは三角定規の三角形だと気づきましたか?(90°,60°,30°)すると,PB=(PAの半分=)7だと分かるので

△PAB=PA×PB÷2
7 \cdot 7\sqrt{3} \cdot \frac{1}{2}=\frac{\fbox{49}\sqrt{\fbox{3}}}{\fbox{2}}・・・ケ~シ

まとめ

2015年に続いて、比較的平易ですね。2014年までは第3問が「三角比と平面図形の両方」を聞いていたので、ちょっと難しい出題でしたが、平面図形は平面図形で2015年以降、単独の第6問に移動したので、この問題に関しては、計算さえしっかり出来ればなんとかなる気もします。

この傾向が続くと楽なことは楽なのですが、2017年もこうだとは限りません。難しめの問題でトレーニングを積んでおいても良いかも。そんなときは2014年以前の(数学1・数学A)第3問も解いてみてください。たまに手が止まったりします・・・。

2016年センター試験解説







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