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2016年センター試験 数学1・Aの考え方 第2問[3]データの分析(3)

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第2問[3]の(3)はデータの分析の計算問題です。平均・分散・標準偏差・共分散・相関係数についての問題ですが、詳しい解説は他のサイトで掲載されているのでそちらにお任せして(無責任?!)、実際に私が解いたやり方でやってみたいと思います。(ただし、これが数学的に正しいかと言えば微妙(というか邪道?)と言わざるを得ませんが・・)。危うい点が多々あるので「解説」とせずに「考え方」として載せるに留めたいと思います。

ツの場合は分散、テの場合は共分散、トの場合は相関係数について、それぞれの「比」を求める・・・となっています。特に詳細なデータも与えられていない((2)で一応の散布図はあるにしても)上で比を求める、ということは何かデータを「仮定」して出せば比が出るのではないか・・と考えてみました。

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ツ(分散の比)

分散を求めるには2種類以上のデータが必要なので、N市の摂氏での気温を、データ1では0度、データ2では10度と仮定しました。

N市 データ1(0℃と仮定) データ2(10℃と仮定)
N市の温度(摂氏) 0 10
②の合計 10
③の平均(②÷2) 5
偏差(③-①) -5 5
④の2乗 25 25
⑤の合計 50
分散(⑥÷2) 25

この場合でのXは25になりますね。

一方、華氏の温度は摂氏の温度を\frac{9}{5}倍(1.8倍)して32を足したものなので、

  • データ1の場合、0℃=0×1.8+32=32°F
  • データ2の場合、10℃=10×1.8+32=50°F

これをもとに、N市の華氏での温度の表を作り変えます。

N市 データ1(0℃と仮定) データ2(10℃と仮定)
N市の温度(華氏) 32 50
⑧の合計 82
⑨の平均(②÷2) 41
偏差(⑨-⑦) -9 9
⑪の2乗 81 81
⑫の合計 162
分散(⑬÷2) 81

この場合でのYは81になります。これらから

\frac{Y}{X} = \frac{\fbox{81}}{\fbox{25}}・・・ ツ

テ(共分散の比)

共分散を求めるためには東京の気温も必要なので、東京の気温も○度・・・と仮定しておきましょう(本当は散布図上に対応してプロットされている点が良いでしょう)。データ1に対応する東京の温度を1℃、データ2は3℃としておきます。

東京 データ1(1℃と仮定) データ2(3℃と仮定)
(A) 東京の温度(摂氏) 1 3
(B) ⑧の合計 4
(C) ⑨の平均(②÷2) 2
(D) 偏差(⑨-⑦) -1 1
(E) ⑪の2乗 1 1
(F) ⑫の合計 2
(G) 分散(⑬÷2) 1

共分散は偏差の積を足していってデータの個数で割ったものなので、データ1、データ2について、N市(摂氏)―東京(摂氏)の共分散は④×(D)÷2より

{(-5)×(-1)+5×1}÷2=5

これがこの場合のZになり、N市(華氏)―東京(摂氏)の共分散は、⑪×(D)÷2より

{(-9)×(-1)+9×1}÷2=9

これがWとなります。これらから

\frac{W}{Z} = \frac{\fbox{9}}{\fbox{5}}・・・ ツ

ト(相関係数の比)

相関係数は共分散÷標準偏差の積で求められますので、(共分散は出していますから)標準偏差を出しましょう。

東京の標準偏差は(G)のルートを取って1、N市(摂氏)の標準偏差は⑦のルートを取って5、共分散はZで求めた5より、相関係数は

5÷5=1

となります。これがこの場合のVの値です。一方、N市(華氏)の標準偏差は⑭のルートを取って9、共分散はWで求めた9なので、相関係数は

9÷9=1

これがこの場合のUの値となり、求める値は

\frac{V}{U}=\fbox{1} ・・・ テ

という感じで求めました。このケースだからこの仮定が使えたのですが全てには当てはまりません。悪しからず・・・。

2016年センター試験解説







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