2016年センター試験数学1・A解説第3問確率

更新日：2016年2月19日

2016年のセンター試験数学1Aは、第1問・第2問が必須問題で、第3問～第5問が選択問題です。第3問は確率で、問題を見るからに簡単そうだぞ、と思って選んで解いた方が合ってました。そんなに難しくはない・・・ので、1年生の練習用には最適かもしれません。サクッと解いていきましょう。

(1)余事象の確率

「少なくとも1個」と来れば、余事象を考えるのが定石です。その余事象ですが、問題文を見れば「AさんもBさんも白球を取り出す確率」ということが分かります。つまり、考える余事象は「Aさんが白球を取り出して」かつ「Bさんも白球を取り出す確率」です。

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Aさんは12個の中から5個の白球を取り出すので、そのときの確率は $\frac{5}{12}$ となるでしょう。

Bさんは残った11個の球の中から、4個ある白球を取り出すことになります。Bさんが白球を取り出す確率は $\frac{4}{11}$ ですね。

Aさんが白球を取り出し、かつ、Bさんも白球を取り出す確率は

$\frac{5}{12}\cdot \frac{4}{11}=\frac{5}{33}$

これの余事象の確率を求めれば「赤球か青球が少なくとも1個含まれている確率」となるので、求める確率は

$1-\frac{5}{33}=\frac{\fbox{28}}{\fbox{33}}$ 　・・・ア～エ

(2)積事象の確率・条件付き確率

Aさんが赤球を取り出す確率は，12個の中から4個取り出す確率と等しいので $\frac{4}{12}=\frac{1}{3}$ 。

残った11個からBさんが白球(5個)を取り出す確率は $\frac{5}{11}$ 。

なので，「Aさんが赤球を取り出す」かつ「Bさんが白球を取り出す」確率は

$\frac{1}{3} \cdot \frac{5}{11}= \frac{\fbox{5}}{\fbox{33}}$ ・・・オ～キ

この次、条件付き確率の考え方を使ってもいいですし、使わなくても良いと思います。Aさんが取り出したのが赤球だったら、残った球は赤が3個、青が3個、白が5個の合計11個あり、Bさんはこの11個の中から5個ある白球を取り出すので、その確率は

$\frac{5}{11}$ ・・・ク～コ

と分かりますね。

(3)条件付き確率

問題文の誘導に従って解いていきましょう。

①Aさん：赤球　Bさん：白球になる確率

オ～キで求めたように $\frac{5}{33}$

②Aさん：青球：Bさん：白球になる確率

Aさんが青球を取り出す確率は、(全体の)12個中(青球の)3個で、残った11個の中には白球が5個混ざってますので

$\frac{3}{12} \cdot \frac{5}{11}=\frac{5}{44}$ 　・・・サ～ス

③AさんもBさんも白球になる確率

12個の球のうち白球は5個ありますので、Aさんが白球を出す確率は $\frac{5}{12}$ で、残った11個には白球が4個混ざってますので、市の中からBさんが白球を出す確率は $\frac{4}{11}$ 。この場合の確率は

$\frac{5}{12} \cdot \frac{4}{11}=\frac{5}{33}$

となりますので、これらを足すと、「（Aさんの色がどうであれ）Bさんが白球を出す確率」を求めることができますね。Bさんが白球を出す確率は，①＋②＋③より

$\frac{5}{33}+\frac{5}{44}+\frac{5}{33}=\frac{\fbox{5}}{\fbox{12}}$ ・・・セ～タ

ここの計算のちょっとしたコツは知っておくといいかも、と言いつつ少し長くなりそうなので、後で紹介できればなと思います。

で，その中でAさんが白球を取り出す確率を求めれば最後の空欄は完成なので、ここは条件付き確率を素直に使いましょう。分母が $\frac{5}{12}$ で分子が $\frac{5}{33}$ なので

$\frac{\frac{5}{33}}{\frac{5}{12}}=\frac{\fbox{4}}{\fbox{11}}$ ・・・チ～テ

まとめ

センター試験本試験の数学1・Aで「条件付き確率」が初めて出ましたが、そんなに考えずにスラスラといけました。考え方としては、全パターン出させてその中で該当する確率を求める、という作業だったので、旧課程の数学1Aの確率に出ていた「期待値計算」の考え方と少し似たパターンでしたね。

去年(2015年)、「もし条件付き確率が出るとしたらこんなパターンで出るんじゃね？」って受験生にヤマを張ってたのが1年遅れで出ました(2015年は場合の数「だけ」の問題だった)。2017年以降はもう少し難しくなっちゃうんだろうなぁ・・。

2016年センター試験解説

第1問：[1]1次関数 - [2]集合と論理 - [3]2次不等式
第2問：[1]三角比 - [2]データの分析 - [3]データの分析(1),(2) - (3)
第3問：場合の数と確率
第4問：整数の性質
第5問：平面図形

2016年センター試験 数学1・A解説 第3問 確率