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2016年センター試験 数学1・A解説 第4問 整数の性質

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2016年センター数学ⅠAの選択問題、第3問は確率で、第4問は整数からの出題です。2015年から登場したこの分野で、トレーニングを積める過去問が2015年の本試験・追試験ぐらいしかないのですが、前半の(1)は2015年に出てきた「(ユークリッドの互除法を使って)不定方程式の整数解を求めていく」問題がそのまま出されています。ラッキー。

後半の(2)は記数法(n進法)からの出題で、初めて出たパターンでしたが、難易度はそこまで高くなく、これも当たりの選択問題だったのではないかと思います。

(1)不定方程式の整数解

このパターンは2015年の本試験・追試験とも出ており、もはやお決まりになってきています。

92x+197y=1 ・・・①

①の197と92を,ユークリッドの互除法を使って、「1=92×○+197×△」の形に持っていきましょう。

197=92×2+13 より 13=197-92×2 ・・・②
92=13×7+1 より 1=92-13×7 ・・・③

②,③より

1=92-(197-92×2)×7
1=92×15+197×(-7)
92×15+197×(-7)=1 ・・・④

①-④より

92(x-15)+197(y+7)=0

x-15=X,y+7=Yとおけば

92X+197Y=0
92X=-197Y

したがって,nを整数として

X=-197n,Y=92n

ここでXをx-15に,Yをx+7に戻すと

x-15=-197n,Y+7=92n
x=-197n+15,y=92n-7

xの絶対値が最小のものは、パッと見でn=0のときだと分かるでしょう。nに0を代入して

x =  15  ,y =    -7   ・・・ア~エ

ということになります。さらに,92x+197y=10・・・⑤は、④を10倍したものをヒントに使えばいけますので

92×150+197×(-70)=10 ・・・④

kを整数とすれば,先程と同じような手順で

x=-197k+150,y=92k-70

xの絶対値が最小になるのはk=1のときで

x =  -47  ,y =    22  ・・・オ~ケ

(2)n進法

2進法の11011(2)、これをまず10進法に変換していきましょう。右から1,2,4(22),8(22),16(24)なので

11011(2)=1×16+1×8+0×4+1×2+1×1=27(10)

これを4進法に変えます。右から1,4,16(42)なので

27=16×1 余り 11
11=4×2 余り 3

したがって,

11011(2) = 27(10) =   123  (4) ・・・コ~シ

後半の問題は、6進数の小数を10進数に直すと有限小数になるものを選ぶもので、1つ1つ計算して片付けていくのが手っ取り早いのでは、と思います。一番長い桁数で小数第3位までありますので、6進法の小数を0.1(6)、0.01(6)、0.001(6)を予め計算しておきましょう。

0.1(6)\frac{1}{6},0.01(6)\frac{1}{36},0.001(6)\frac{1}{216}

これに、選択肢0~選択肢5を当てはめていきましょう。

選択肢0

0.3(6)\frac{3}{6}=\frac{1}{2}=0.5

となるので有限小数ですね。○。

選択肢1

0.4(6)\frac{4}{6}=\frac{2}{3}=0.66666....

となり、無限小数となります。これは×。

選択肢2

0.33(6)\frac{3}{6}+\frac{3}{36}=\frac{21}{36}=\frac{7}{9}=0.7777....

これも無限小数になるので、×になりますね。

選択肢3

0.43(6)\frac{4}{6}+\frac{3}{36}=\frac{27}{36}=\frac{3}{4}=0.75

止まりましたので、有限小数になり、これは○。

選択肢4

0.033(6)\frac{3}{36}+\frac{3}{216}=\frac{21}{216}=\frac{7}{72}=0.097222....

途中で止まらないので無限小数。これは×です。

選択肢5

0.043(6)\frac{4}{36}+\frac{3}{216}=\frac{27}{216}=\frac{1}{8}=0.125

ということで有限小数となりました。したがって、有限小数で表せる選択肢は

  0・3・5   ・・・ス~ソ

まとめ

整数は選択問題ですが、基本をしっかり押さえていれば「あぁ^~難しすぎて手が止まるんじゃぁ~」なんてことはなかったんじゃないかと思います。確率も基本をおさえておけばスピーディーに解けるので、結果論になりますが選択問題は第3問の確率、第4問の整数が良かったのかな?と思います。

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