2016年センター数学ⅠAの選択問題、第3問は確率で、第4問は整数からの出題です。2015年から登場したこの分野で、トレーニングを積める過去問が2015年の本試験・追試験ぐらいしかないのですが、前半の(1)は2015年に出てきた「(ユークリッドの互除法を使って)不定方程式の整数解を求めていく」問題がそのまま出されています。ラッキー。
後半の(2)は記数法(n進法)からの出題で、初めて出たパターンでしたが、難易度はそこまで高くなく、これも当たりの選択問題だったのではないかと思います。
(1)不定方程式の整数解
このパターンは2015年の本試験・追試験とも出ており、もはやお決まりになってきています。
92x+197y=1 ・・・①
①の197と92を，ユークリッドの互除法を使って、「1=92×○＋197×△」の形に持っていきましょう。
197=92×2＋13 より 13＝197-92×2 ・・・②
92＝13×7＋1 より 1=92-13×7 ・・・③
②，③より
1=92-(197-92×2)×7
1=92×15+197×(-7)
92×15+197×(-7)=1 ・・・④
①-④より
92(x-15)+197(y+7)=0
x-15=X，y+7=Yとおけば
92X+197Y=0
92X=-197Y
したがって，nを整数として
X=-197n，Y=92n
ここでXをx-15に，Yをx+7に戻すと
x-15=-197n，Y+7=92n
x=-197n+15，y=92n-7
xの絶対値が最小のものは、パッと見でn=0のときだと分かるでしょう。nに0を代入して
x = 15 ，y = -7 ・・・ア～エ
ということになります。さらに，92x+197y=10・・・⑤は、④を10倍したものをヒントに使えばいけますので
92×150+197×(-70)=10 ・・・④
kを整数とすれば，先程と同じような手順で
x=-197k+150，y=92k-70
xの絶対値が最小になるのはk=1のときで
x = -47 ，y = 22 ・・・オ～ケ
(2)n進法
2進法の11011(2)、これをまず10進法に変換していきましょう。右から1，2，4(22)，8(22)，16(24)なので
11011(2)=1×16+1×8+0×4+1×2+1×1=27(10)
これを4進法に変えます。右から1，4，16(42)なので
27=16×1 余り 11
11=4×2 余り 3
したがって，
11011(2) ＝ 27(10) = 123 (4) ・・・コ～シ
後半の問題は、6進数の小数を10進数に直すと有限小数になるものを選ぶもので、1つ1つ計算して片付けていくのが手っ取り早いのでは、と思います。一番長い桁数で小数第3位までありますので、6進法の小数を0.1(6)、0.01(6)、0.001(6)を予め計算しておきましょう。
0.1(6)＝
これに、選択肢0～選択肢5を当てはめていきましょう。
選択肢0
0.3(6)＝
となるので有限小数ですね。○。
選択肢1
0.4(6)＝
となり、無限小数となります。これは×。
選択肢2
0.33(6)＝
これも無限小数になるので、×になりますね。
選択肢3
0.43(6)＝
止まりましたので、有限小数になり、これは○。
選択肢4
0.033(6)＝
途中で止まらないので無限小数。これは×です。
選択肢5
0.043(6)＝
ということで有限小数となりました。したがって、有限小数で表せる選択肢は
0・3・5 ・・・ス～ソ
まとめ
整数は選択問題ですが、基本をしっかり押さえていれば「あぁ＾～難しすぎて手が止まるんじゃぁ～」なんてことはなかったんじゃないかと思います。確率も基本をおさえておけばスピーディーに解けるので、結果論になりますが選択問題は第3問の確率、第4問の整数が良かったのかな？と思います。