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2016年センター試験 数学1・A解説 第5問 平面図形

センター試験数学Ⅰ・数学Aの解説、選択問題の最後は平面図形です。第3問(確率)第4問(整数)と比較するとどうもハズレくじのような気がしてなりません。いや、図形が得意な人はそうでもないかな?

まあ、これはなかなか解説がしにくいと思うので、問題をお持ちでない方は是非印刷してもらって、図を描きながら、書き込みながらやっていきましょう。

ア~オの解説(等しい角・角の2等分線など)

まずは問題文を読みながら図形に書き込んでいきましょうか。四角形ABCDが円に内接するような格好で・・・

  • [1]AB=4,BC=2(図に書き込み)
  • [2]DA=DC(図に印付け)
  • [3]AF:FD=2:3(AFのところに②マーク、FDに③マーク)
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さらに[2]から

  • [4]∠DAC=∠DCA(等しい角に印つけ)

ということも言えますね。さらにさらに、参考図を見てみると、円周角の定理が使えそうで、

  • [5]∠DAC=∠DCA=∠ABD=∠CBD

このことも分かります。ここで問題を見てみると、∠DAC=∠DCA=∠DBC=で ア のとありますので、[5]から、 ア に入るのは∠ABD(選択肢0)ということが分かると思います。

途中印を付けていったら気づいた方もいるかもしれませんが、∠ABE=∠CBEとなり、BEは∠ABCの二等分線になっています。ということは、

AE:EC = AB:BC = 4:2 = 2:1

したがって

[6] \frac{EC}{AE}=\frac{\fbox{1}}{\fbox{2}} ・・・イ,ウ

次、「△ACDと直線FEに着目・・・」とあるので、使うのはメネラウスの定理あたりかと目を付けておいて、

[7] \frac{AE}{EC} \cdot \frac{CG}{GD} \cdot \frac{DF}{FA}=1

[6]より\frac{AE}{EC}=\frac{2}{1}は分かるし、[3]から\frac{DF}{FA}=\frac{3}{2}も分かる。ということは残ったCG:GD(GC:DGの)の比が分かるな~と思いながら[7]に代入していきましょう。

\frac{2}{1} \cdot \frac{CG}{GD} \cdot \frac{3}{2}=1
[8] \frac{GC}{DG}=\frac{\fbox{1}}{\fbox{3}} ・・・エ,オ

(1)チェバの定理・相似(方べきの定理)

「直線ABが点Gを通る・・・」を参考図に書き込もうとすると、通らない・・あぁ忌々しい。参考図に無理にグリグリっと黒丸を打つか、おとなしく書き直すかしましょう。すると三角形に3点(△AGDのAG上にB、GD上にC、DA上にF)。チェバの定理が使えそうです。

[9]\frac{AB}{BG} \cdot \frac{GC}{CD} \cdot \frac{DF}{FA}=1

[1]よりAB=4,BGが分からない,[3]からDF:FA=3:2,GC:CDが分からないけど[8]よりGC:DG=1:3なので、GC:CD=1:(3-1)=1:2。これでBGが出そうです。このことを[9]の式に代入して

\frac{4}{BG} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2}=1
\frac{3}{BG}=1
[10] BG= 3 ・・・カ

また、

[11] ∠CBG=180°-∠ABC(BはAG上にあることから)
[12] ∠ADC=180°-∠ABC(円に内接する四角形より)

[11],[12]から∠CBG=∠ADC,これと∠Gが共通なことから

[13] △ADG ∽ △CBG

BG=3なのでAG=3+4=7,CG=xとおくとDC=2x,DG=3xとなるので、[13]より

AG:CG=DG:BG
7:x=3x:3
3x2=21
x2=7
x=\sqrt{7} (x>0)
DC=2x=\fbox{2}\sqrt{\fbox{7}} ・・・キ,ク

ちなみに方べきの定理を使ってもいけそうですね。

(2)外接円の直径、円周角

「四角形ABCDの外接円の直径が最小となる…」とありますが、4辺のどれかが直径にスッポリ当てはまれば良いのですが、与えられている長さからすると、[1][2]より、AB=4,BC=2,CD=DA=?

と考えると、「あぁ、BCの2で良くね?」はちょっと待った。BC=2を直径にしたらAB=4は円のどこに入るんだ…(他にも結局CDやDAも分からないし、仮にCDやDAを直径に持っていってもAB=4の入りどころが無くなってしまう)ということで、消去法で

直径の長さ=AB= 4 ・・・ケ

ということは、AB=4,BC=2,∠ACB=90°より,(正三角形を半分にした)三角定規の直角三角形となります。しががって

∠BAC= 30 °・・・コ,サ

となると,円周角から,∠BCD=30°,∠BDC=(60°の半分)=30°、あれっ錯角同じだから平行になって、四角形ABCDは台形になるぞ、と。ヒントのGC:DG=1:3より,

[14]GC:CD=1:2

また,CDの長さはというと,△BCDが∠CBD=∠CDB=30°なので二等辺三角形となり,

[15]CD=BC=2

ということも分かります。[14][15]より,

CG=1

△AEHと△CEGは相似で,相似比は2:1(△AEG∽△DECからAE:EC=2:1より)なので

AH=2CG= 2 ・・・シ

ということが分かりました。

まとめ

やはり・・・第5問の平面図形は取り組んでいくと、「参考図」から(1)、(2)と2回、図を書きなおさなければならず、少し作業量が第3問・第4問と比べて多くなるかなと思います。第1問~第2問で頭の切り替えをパッとやるのが難しいのに第5問でさらに切り替え、となると結構な量になり、1時間で解ききれるかちょっと不安が残るところ。

2015年からの新課程ではこの選択問題の選択に頭を悩まされそう。全体の分量を見て、問題選択していきたいですね。

2016年センター試験解説

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