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2017年センター追試験 数学1A解説 第1問[3] 2次関数・2次方程式

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2017年センター試験(追試験)の第1問[3]の解説です。ここ2年ぐらい、第1問の[3]に2次関数と2次方程式・2次不等式が第1問[3]に来ています。配点は10点。

旧課程ではこの分野、第2問に来て配点25点でした。25点のときはグイグイ突っ込んでくるような問題も見られ、難問もたまに見られましたが新課程になってからは素直にやっていけば解ける問題が多くなったように思えます。ただ、配点10点なので、そんなにも時間をかけられないのが難点です。対策はまず「基本問題を迷わず解ける」「計算スピードを上げる」でしょうね。

では解説に参りましょう。

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(1)1次関数、2つの2次関数の交点

g(x)=(a+1)x^{2}+ax-1

で、関数y=g(x)のグラフが直線になるときなのですが、2次関数ならグラフ放物線になるのになぁ・・放物線にならずに直線になる、1次関数か!ということで、x2の係数を0にする方向で行きましょう。x2の係数について

a+1=0 より、 a=\fbox{-1}・・・ソタ

で、「このとき、y=f(x)の…」と書かれていますので、先回りしてf(x)にa=-1を代入してしまいましょう。

f(x)={1-2・(-1)}x2+2x-(-1)-2
=3x2+2x-1

関数y=f(x)のグラフとx軸との交点のx座標なので、x軸の式はy=0より、y=3x2+2x-1とy=0を連立させて、3x2+2x-1=0の2次方程式を解けば交点のx座標が出ますね。

3x2+2x-1=0 より、 x=\fbox{-1},\frac{\fbox{1}}{\fbox{3}}・・・チ~ト

(2)2次方程式の実数解の個数

今度は、「方程式f(x)+g(x)=0が・・・aの値は・・」と言っていますので、一旦aを戻して考えましょう。とりあえず素直に、f(x)+g(x)を計算してあげてから考えましょう。

f(x)+g(x)=(1-2a)x2+2x-a-2+(a+1)x2+ax-1
=(-a+2)x2+(a+2)x-a-3

というわけで、「(-a+2)x2+(a+2)x-a-3=0がただ1つの実数解をもつ」ときを調べれば良いですね。(1)が若干ヒントになっています。1次方程式だと実数解は1つなわけで、1次関数だとy軸との交点は1つなわけで。となると、さっきと同じようにx2の係数を0にしてしまう方向でまずいきましょう。

-a+2=0より、a=2・・・ノ

解答欄の桁数的にはナ~ネよりもノになるでしょうね。さて、後は普通に2次方程式が「1つの実数解をもつ」ということは判別式を使えば良いでしょう。2次方程式を(-a+2)x2+(a+2)x-a-3=0の判別式をDとして、

D = (a+2)2-4(-a+2)(-a-3)
= a2+4a+4 - 4(a-2)(a+3) ・・☆
= a2+4a+4 - 4(a2+a-6)
= a2+4a+4 - 4a2-4a+24
=-3a2+28

☆の計算が分からなかった人は後で解説します。で、今回、実数解が1個なので、重解をもつということで、D=0を使いましょう。

-3a^{2}+28=0
3a^{2}=28
a^{2}=\frac{28}{3}
a=\pm \frac{2 \sqrt{7}}{\sqrt{3}}=\pm \frac{\fbox{2}\sqrt{\fbox{21}}}{\fbox{3}}・・・ナ~ネ

これでOKということになります。さて、☆の計算ですが、文字の係数にマイナスが入っていると、乗法公式を使っての展開がしにくいですね。だから、あえてマイナスをかけて、aの係数を1にしてしまったらいいんじゃないかと。

(-a+2)(-a-3)=(-1)・(a-2)・(-1)・(a+3)
=(-1)・(-1)・(a-2)(a+3)
=(a-2)(a+3)

こんな具合です。このあたりまではドツボにハマることなく難なく計算していきたいですね。

2017年センター試験(追試験)数学1・数学A 解説







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