(座標・1次関数)等積変形で四角形の面積を求める(やや難)

投稿日：2018年2月18日

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例題

上の図で、

直線①(青の直線)は　y = 2x + 6
直線②(赤の直線)は　 $y=\frac{1}{2}x+3$
直線③(緑の直線)は　y= -x+6

のグラフを表し、直線①とx軸との交点をA、直線①と直線②の交点をB、直線②と直線③の交点をC、直線③とx軸の交点をDとします。このとき

(1)点A，B，C，Dの座標をそれぞれ求めなさい。
(2)点Bと点Dを結んでできる直線BDの式を求めなさい。
(3)点Cを通り直線BDに平行な直線の式を求めなさい。
(4)四角形ABCDの面積を求めなさい。

(3)までの解き方・解説

(1)は「x軸との交点の求め方」や「交点の座標の求め方」の復習だと思って解いてみてください。分からなければ、上のリンクでもう一回確認しましょう。「連立方程式を作って解く」と「x軸の式はy=0」さえ押さえておけばそんなに難しくはないと思います。

(2)は、「2点を通る1次関数の式の求め方」の復習です。これも分からなければリンクを参照してくださいね。

(3)も実質(2)と同じ要領で求めますが、「平行ならば傾きは同じ」ということを使います。大事なのは、なんで(3)みたいな設問を作ったのか…。

(3)までの解答

(1)点Aは①とx軸(y=0)の交点より、y=2x + 6にy=0を代入して

0 = 2x + 6
x=-3

(答え)　A(-3,0)

点Bは①と②の交点だから、(①と②を連立させて)x座標は

$2x+6=\frac{1}{2}x+3$
4x+12=x+6
3x=-6
x=-2

これを①の式に代入してy座標を求めると（②に代入してもいいですよ）

y = 2×(-2)+6=2

(答え)　B(-2,2)

点Cは②と③の交点だから、

$\frac{1}{2}x+3=-x+6$
x+6=-2x+12
3x=6
x=2

これを③の式に代入してy座標を求めると（②に代入してもいいですよ）

y = -1×2 +6 =4

(答え)　C(2,4)

点Dは①とx軸(y=0)の交点より、y=-x+6にy=0を代入して、

0 = -x+6
x=6

(答え)　D(6,0)

(2)直線BDの式をy=ax+bとおくと、

BDはB(-2,2)を通るから 2=-2a + b　…③
BDはD(6,0)を通るから 0=6a +b　…④

③④を解くと， $a=-\frac{1}{4},b=\frac{3}{2}$

（答え） $y=-\frac{1}{4}x+\frac{3}{2}$

(3)求める直線の式はBDと平行だから、傾きはBと同じ $-\frac{1}{4}$ なので、 $y=-\frac{1}{4}x+c$ とおくと、これがC(2,4)を通るから

$4=-\frac{1}{4}\times 2 +c$
$4=-\frac{1}{2}+c$
$c=\frac{9}{2}$

（答え） $y=-\frac{1}{4}x+\frac{9}{2}$

(3)から(4)へ…(4)の考え方・解答

ここまでをおさらいしましょう。(4)では、「四角形ABCDの面積」を求めるのですが、残念ながら公式一発というわけにはいきません（あるにはあるのですが、使うとかえって計算が非常にややこしくなる）。そこで、「四角形を2つの三角形に分割して、面積を求めていく」方法を使っていきましょう。四角形ABCDは△ABDと△BCDに分けられます。ここまでを図で確認しておきましょう。

ここで、「等積変形」をします。(3)で出した「点Cを通り直線BDに平行な直線の式」の出番です。この直線を⑤としましょう。で、⑤とx軸との交点をEとします。

一体どこまで伸びるんや…というぐらいのびのびとしてしまいましたが、Eの座標を求めてしまいましょう。さっきの「点Cを通り直線BDに平行な直線の式（ $y=-\frac{1}{4}x+\frac{9}{2}$ ）」を下図にオレンジ色で描きました。 $y=-\frac{1}{4}x+\frac{9}{2}$ の式にy=0を代入すると、x=18より，E(18,0)。

先程「四角形ABCDの面積＝△ABDの面積＋△BCDの面積」と言いましたが、等積変形をすると、△BCDと△BDEの面積が同じになることが気づきますか？（底辺がBDで共通、高さはBD//CEだから同じ）なので

四角形ABCDの面積＝△ABDの面積＋△BCDの面積
=△ABDの面積+△BDEの面積
=△ABEの面積

となり、△ABDの底辺AEの長さは18-(-3)=21、高さは2なので、求める面積は　21×2÷2=21　となります。

(答え)　21